《线性代数》第二章 线性方程组 习题课

慢第2章线性方程組 21高斯消元波 22矩阵的铁 EB线性方程組解 的刺定

第2章 线性方程组 2.1 高斯消元法 2.2 矩阵的秩 2.3 线性方程组解 的判定

21高斯消元法 高斯消元法 「矩阵 矩阵的初等变换

2.1 高斯消元法 高斯消元法 矩阵 矩阵的初等变换

高斯消元法 是求解线性方程组的一种基本方法。 其基本思想是通过消元变形,把方程组化 成容易求解的同解方程组, 即得到能直接求出解或者能够直接判断其 无解的同解方程组

高斯消元法 ❖ 是求解线性方程组的一种基本方法。 ❖ 其基本思想是通过消元变形，把方程组化 成容易求解的同解方程组， 即得到能直接求出解或者能够直接判断其 无解的同解方程组

矩阵 由m×n个数a(=1,2,…,m;j=1,2,…,n排成 个m行n列的矩阵数表 II 12 2 称为m×n矩阵,简称矩阵,记作AB等 实矩阵 方阵 系数矩阵 复矩阵 行矩阵 增广矩阵

矩阵 由m×n个数 (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n)排成 一个m行n列的矩阵数表 称为m×n矩阵，简称矩阵，记作A,B等。             m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 ij a 实矩阵 方阵 系数矩阵 复矩阵 行矩阵 增广矩阵

矩阵的初等变换 矩阵的初等行(列)变换是对矩阵实行以下变换: 交换矩阵的两行(列),分(;◇c) 用一个非零数k乘矩阵的某一行(列),kr(kc,) 用数k乘以矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上 去 r+krIc, +kc 初等行变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换

矩阵的初等变换 矩阵的初等行(列)变换是对矩阵实行以下变换： ❖ 交换矩阵的两行(列)， ❖ 用一个非零数k乘矩阵的某一行(列)， ❖ 用数k乘以矩阵的某一行(列)加到另一行(列)上 去， ( ) i j i j r  r c  c ( ) i i kr kc 初等行变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换 ( ) j i i j r + k r c + k c

消元变形,化成同解方程组 高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 7>F;>C 数表 kr(kc) +ki +ke

高斯消元法 矩阵 矩阵的 初等变换 消元变形，化成同解方程组。 数表 ( ) i j i j r  r c  c ( ) kri kci ( ) j i i j r + k r c + k c

阶梯矩阵和最简形 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵: (1)若有零行,则零行位于非零行的下方; (2)每个首非零元前面零的个数逐行增加 首非零元为1,且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵,称为最简阶梯矩阵,简称最 简形。 >任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 个矩阵的阶梯形一般不唯一,但它的最 简形是唯一的

阶梯矩阵和最简形 ❖ 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵： (1) 若有零行，则零行位于非零行的下方； (2) 每个首非零元前面零的个数逐行增加。 ❖ 首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都 为零的梯矩阵，称为最简阶梯矩阵，简称最 简形。 ➢ 任意m×n阶矩阵A总可以经过初等行变换 化为阶梯形矩阵及最简形 ➢ 一个矩阵的阶梯形一般不唯一，但它的最 简形是唯一的

判别最简形 0101 1101 A1=0011A2=0 0000 0000 1001 101 A3=0101A4=1001 0111 0000

判别最简形 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0000 A     =       2 1 1 0 1 0 1 1 1 0000 A     =       3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 A     =       4 1 1 0 1 0 0 1 1 0000 A     =      

用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 例1 1-2 4 A 4-62-24 36-979 2=73 h(>2 2-31-1 4229 n2-2 4063

例1. 用初等行变换将矩阵化成 行阶梯矩阵和最简形 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 A   − −   − =     − −     − 1 2 3 2 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 r r r     −   − − ⎯⎯⎯→    − −     − A 2 3 3 1 4 1 2 3 1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3 r r r r r r − − −   −   − ⎯⎯⎯→    − − −     −

11-214 02-220 2÷2 r2+5r 0 0-55-3-6 -3200026 000 3 214 01-10 4-2 12 0001-3250001 433 00000 00000

1 1 2 1 4 0 2 2 2 0 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3   −   −     − − −     − 2 3 2 4 2 2 5 3 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 2 6 0 0 0 1 3 r r r r r  + −   −   − ⎯⎯⎯→    −     − 3 4 4 3 2 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r  −   −   − ⎯⎯⎯→    −     1 2 2 3 1 0 1 0 4 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 r r r r − −   −   − ⎯⎯⎯→    −    