电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 随机事件和概率（1.5）事件的独立性、独立试验概型

随机事件的独立性 21.2.20 §1.5事件的独立性、独立试验概型 相互独立随机事件 在一般情况下P(4|B)≠P(4) 产品抽检试验 但若P(4|B)=P(A 成立,即事件4发生的可能性大小不受事件B 出现与否的影响 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 §1.5 事件的独立性、独立试验概型 一 、相互独立随机事件 在一般情况下 P (A|B) ≠ P ( A ) 成立，即事件A发生的可能性大小不受事件B 出现与否的影响. 但若 P (A|B) = P ( A ) 产品抽检试验

随机事件的独立性 21.2.20 定义1.5.1设(92,P)为概率空间,A∈ B∈.%,且P(4)>0,若 P(B4)=P(B) 称事件B独立于事件A 性质15.1若事件B独立于事件A,且P(B)>0 P(4)>0,事件A独立于事件B P(4|B)=P(A) 注事件的独立性是对称性质,称为相互独立 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 定义1.5.1 设(Ω,F, P ) 为概率空间，A ∈F， B∈F，且P(A)>0，若 P (B|A) = P ( B ) 称事件B独立于 事件A. 性质1.5.1 若事件B 独立于事件A , 且P(B)>0, P(A)>0，事件A 独立于事件 B. P (A|B) = P ( A ) 注 事件的独立性是对称性质，称为相互独立

随机事件的独立性 21.2.20 性质1.5,2设(92,%P)为概率空间,A∈% B∈且P(A)P(B)>0,则4与B相互独立的充 分必要条件是 P(AnB)=P(AP(B) 定义1.5.2设(92,%,P)为概率空间,A∈ B∈%若 P(AnB=P(A)P(B)等价定义 称4与B相互独立 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 性质1.5.2 设(Ω,F, P ) 为概率空间, A∈F ， B∈F，且P(A)P(B)>0，则A 与 B 相互独立的充 分必要条件是 P (A∩B) = P ( A ) P ( B ) 定义1.5.2 设(Ω,F , P ) 为概率空间, A ∈F ， B∈F，若 P (A∩B) = P ( A ) P ( B ) 称A与B 相互独立. 等价定义

随机事件的独立性 21.2.20 性质1.53若事件4和B相互独立,则下列 三对事件分别也相互独立 A,B: A, B; A,B 证仅对第三种情形证明 P(AB)=P(A∪B)=1-P(A∪B) =1-[P(A4)+P(B)-P(AB) =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =[1-P(A)[1-P(B P(AP(B 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 性质1.5.3 若事件A 和 B 相互独立，则下列 三对事件分别也相互独立. A,B; A,B; A,B. 证 仅对第三种情形证明 P(AB) = P(A B) = 1− P(A B) = 1−[P(A) + P(B) − P(AB)] = 1− P(A) − P(B) + P(A)P(B) = [1− P(A)][1− P(B)] = P(A)P(B)

随机事件的独立性 21.2.20 设,B是两个随机事件,且0<P(A)<1, P(BA)=P(BA)试问AB是否相互独立? 答案A和B相互独立 因P(B4)=P(B1)、P(AB)BAB) P(A)P(4) P(AB)P(A=P(AB)P(A P(AB)1-P(A=[P(B)-P(AB)IP(A) →P(AB)=P(4)P(B) 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 答案 因 A 和B 相互独立. 设A, B是两个随机事件,且0  P(A)  1, P(B A) = P(B A),试问A,B是否相互独立？ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P AB P A P A B P B A = P B A  =  P(AB)P(A) = P(AB)P(A)  P(AB)[1− P(A)] = [P(B) − P(AB)]P(A)  P(AB) = P(A)P(B)

随机事件的独立性 21.2.20 定义1.53设(92,%,P)为概率空间,A1∈% (i=1,2,,n),若对任意的s(1<s≤n)及1≤i< i2<…<i≤n,有 P(4i1Aa…,Aas)=P(a)P(Aa)…P(4s) 成立,则称事件41,A2,…,An相互独立 若对一切1≤l<i≤n,有 P(4142)=P41)P42) 成立,则称事件41,A2,……,A两两独立 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 定义1.5.3 设(Ω,F , P ) 为概率空间，Ai ∈F (i=1,2,…,n)，若对任意的s（1 < s ≤ n）及1 ≤ i1 < i2 < … < is ≤ n，有 若对一切1 ≤ i1 < i2 ≤ n，有 P(Ai1 Ai2…Ais）= P(Ai1 )P(Ai2) … P(Ais） 成立，则称事件A1，A2，…，An 相互独立. P(Ai 1 Ai 2）= P(Ai 1 )P(Ai 2 ) 成立，则称事件A1，A2，…，An两两独立

随机事件的独立性 21.2.20 注n个事件相互独立是比两两独立更强的 结论 四面体向题 三个事件的独立性是上述定义的特例 性质154若干个事件41,A2,…,An相互独 立,则将4,A2,…,A中的任意多个事件换 成它们的对立事件后,所得到的个事件仍然相 互独立 事件的独立性有着广泛的用途 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 注 n 个事件相互独立是比两两独立更强的 结论. 性质1.5.4 若干个事件A1，A2，…，An相互独 立，则将A1，A2，…，An中的任意多个事件换 成它们的对立事件后，所得到的n个事件仍然相 互独立. 事件的独立性有着广泛的用途. 三个事件的独立性是上述定义的特例. 四面体问题

随机事件的独立性 21.2.20 例如“三个臭皮匠,顶个诸葛亮 有志者事竟成” 系统的可靠性设计 考虑41,A2,…,A至少有一个发生 的概率,其中0<P(4)=p1<1, 若(1)A1,A2,…,An互不相容; (2)A1,A2,…,An相互独立 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 例如 考虑A1，A2，…，An至少有一个发生 的概率，其中0 < P(Ai) = pi < 1， 若（1）A1，A2，…，An 互不相容; （2）A1，A2，…，An相互独立. “三个臭皮匠，顶个诸葛亮” “有志者事竟成” 系统的可靠性设计

随机事件的独立性 21.2.20 (1)若41,A2,…,An互不相容,由概率 的有限可加性可得 p=P41)+P(2)+…+P(An)=p1t+p2+,+pn (2)若41,A2,…,An相互独立,由对偶原 理可得 P=P(A1∪A2U…∪An) 1-P(142…An) =1-P(1)P(42)…P(An) 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 (1) 若A1，A2，…，An 互不相容，由概率 的有限可加性可得 p= P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) = p1+p2+…+pn (2) 若A1，A2，…，An 相互独立，由对偶原 理可得 1 ( ) = − P A1 A2 An 1 ( ) ( ) ( ) = − P A1 P A2 P An ( ) P A1 A2 An p =  

随机事件的独立性 21.2.20 特别,当P(A)=D,i1,2,…,n,有 P(41UA2U∴∪An})=1-(1-p) PA.UA,=lim[1-(1-P)]=1 小米加步枪战胜 敌人的理论解释 140学

21.2.20 电子科技大学 随机事件的独立性 特别，当 P(Ai)= p, i=1, 2, …，n ,有 P(A1∪A2∪…∪An })= 1 – ( 1 － p) n 小米加步枪战胜 敌人的理论解释. { } lim[1 (1 ) ] 1 n 1 2 = − − = → n P A  A  An p