《线性代数》第四章 向量空间 习题课

41n维向量 4.2向量组的线性相关性 4.3向量组的秩44n维向量空间 4.5欧氏空间Rn 4.6线性方程组解的结构 第四章向量空间

第四章 向量空间 4.1 n维向量 4.2 向量组的线性相关性 4.3 向量组的秩 4.4 n维向量空间 4.5 欧氏空间Rn 4.6 线性方程组解的结构

第一节n维向量 、n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 n维向量的加法和数乘运算规律 向量加法:交换律、结合律 数乘向量:结合律、分配律(数的分配、 向量的分配)

一、 n 维向量的概念 第一节 n 维向量 二、 n 维向量的线性运算 n 维向量的加法和数乘运算规律 向量加法：交换律、结合律 数乘向量：结合律、分配律（数的分配、 向量的分配）

、向量的运算规律 ■关于向量的加法有: a+B=B+aa+(-a)=0 (a+B)+y=a+(B+y)c+0=c ■关于数与向量的乘法有: (k+ Da =ka +la k(la)=(kl)a k(a+b)=ka+kB 1.c=a

三、向量的运算规律 ◼ 关于向量的加法有： ◼ 关于数与向量的乘法有：  +  =  + ( + ) +  =  + ( +  )  + 0 =  + (−) = 0 1 = k(l) = (kl) k( + ) = k + k (k + l) = k + l

四、向量空间 量 解析几何 (n≤3) 线性代数 坐 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 标 几何形象:可随意 代数形象:向量的 平行移动的有向线段 坐标表示式 系 a=(a1,a2

向 量 解析几何 (n  3) 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式 ( , , , ) 1 2 n T a = a a  a 坐 标 系 四、向量空间

空间 解析几何 (n≤3) 线性代数 坐 点空间点的集合 向量空间:向量的集合 标 几何形象:空间 代数形象:向量空 直线、曲线、空间 平面或曲面 系 间中的平面 ((x, y,z)ax+by+cz=d r=(x,),z)ax+by+cz=dy P(x,y,z) 对应 r=(x,y, 4)

空 间 (n  3) 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐 标 系 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 r x y z ax by cz d T =( , , ) + + = 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 (x, y,z)ax+by+cz=d P(x, y,z) r (x, y,z) T = 一 一 对 应

第二节向量组的线性相关性 向量、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量) 所组成的集合叫做向量组 二、线性组合,线性表示 定义1给定向量组A:ax1,a2,…,an,对于任何 组实数k1,k2y…,kn,向量 k1a1+k22+…+knOm 称为向量组的一个线性组合,k,k2…,kn称为这 个线性组合的系数

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 一、向量、向量组与矩阵 第二节 向量组的线性相关性 二、线性组合, 线性表示 组实数 ， ， ， 给定向量组 ，对于任何一 m m k k k A , : , , , 1 2 1 2  定义1     . , 1 2 个线性组合的系数 称为向量组的一个 ， k ，k ， km称为这 向 量 k11 + k2 2 ++ km m 线性组合

定义2给定向量组A:a1,a2…n和向量b如果存在 组数k,k2,…k,使 b=kc,+kC+…k 则向量b是向量组4的线性组合,这时称向量b能 由向量组A线性表示或线性表出 即线性方程组 x11+x2a2+…+ r.al=b 有解

1 1 2 2 m m b k k k = + +    1 2 1 2 : , , , , , , , m m A b k k k 给定向量组    和向量 如果存在 一组数 ，使 . 1 1 2 2 有解 即线性方程组 x  + x  ++ xm m = b 则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 能 由向量组 线性表示或线性表出． b A 定义2

定理1 n维向量6可由n维向量组a1,a2…,an线性表示 台→线性方程组xa1+x2a2+…+xnan=B有解 分→矩阵A=(a12a2…,∝n)的秩等于矩阵 (ax,a2…,an,B)的秩 向量b能由向量组4线性表示的充分必要 条件是矩阵A=(1,a2…,m)的秩等于矩阵 B=(a1,a2,am,b)的秩

( , , ) . ( , ) 1 2 1 2 ， 的秩。 条件是矩阵 ， ， 的秩等于矩阵 向量 能由向量组 线性表示的充分必要 B b A b A m m        = = 定理1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 , , , ( , , , ) ( , , , , ) m m m m m n n x x x A A                 + + + =  = = 维向量 可由 维向量组 线性表示 线性方程组 有解 矩阵 的秩等于矩阵 的秩

三、向量组的线性相关性及其重要结论 定义3给定向量组4:a1,a2,…,n,如果存在不 全为零的数1,k2,…,k使 k2a1+k2C2+…+knm=0 则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关

0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 定义3 给定向量组 如果存在不 三、向量组的线性相关性及其重要结论 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．

线性相关性的判定 定理2 对于向量组4:a1,a2,,Om,记A=(a1,a2,…,cmn) 则:1A线性相关的充要条件是R(A)<m 24线性无关的充要条件是R(A)=m 定理3向量组a1,a2,,an(m≥2)线性相关的充要条件是 ax1,a2,,am中至少有一个向量 可由其它m-1个向量线性表示 定理4设向量组4:a1,a2…,Qn线性无关而向量 组B:ax1…,∝n,b线性相关,则向量b必能由向量组 A线性表示,且表示式是唯一的

线性相关性的判定 定理2 2. (A) . :1. (A) . : , , , , A ( , , , ), 1 2 1 2 A R m A R m A m m = < = 线性无关的充要条件是 则 线性相关的充要条件是 对于向量组     记     定理3 向量组1 ,2 ,, m(m  2)线性相关的充要条件是 1 ,2 ,, m中至少有一个向量 可由其它m −1个向量线性表示. , . : , , , , : , , , , 1 1 2 线性表示 且表示式是唯一的 组 线性相关 则向量 必能由向量组 设向量组 线性无关 而向量 A B b b A m m       定理4 