电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 特征函数与极限理论（4.5）中心极限定理

中心极限定理 545中心极限定理 、中心极限定理定义和意义 引例:高尔顿钉板试验 定义45.2(中心极限定理)设随机变量 {},k=1,2,相互独立,有有限数学期 望和方差若随机变量序列 ∑ 5k-E(5k) =1 B up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 §4.5 中心极限定理 一 、中心极限定理定义和意义 引例：高尔顿钉板试验 定义4.5.2（中心极限定理）设随机变量 {ξk }，k = 1,2,…相互独立，有有限数学期 望和方差.若随机变量序列 = − = n k n k k n B E 1  ( ) 

中心极限定理 ∑5-∑E(5)标准化 =1 ∑D(5) =1 对z∈R一致地有 2 lim P(n, <2)=5 e ?dy=D(2) 称随机变量序列{服从中心极限定理 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 标准化    = = = − = n k k n k k n k k D E 1 1 1 ( ) ( )    对z∈R一致地有 ( ) 2 1 lim { } 2 2 1 P z e dy z z y n n  =  =  − − →   称随机变量序列 {ξk }服从中心极限定理

中心极限定理 注1随机变量{}服从中心极限定理,指 其前n项和∑5的标准化随机变量依收敛 k=1 于标准正态分布随机ξ 注2解释了现实中哪些随机变量可看服从正 态分布 若随机变量序列{k},k=1,2,服从中心 极限定理,有 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 注1 随机变量 {ξk }服从中心极限定理，指 其前n项和  的标准化随机变量依分布收敛 = n k k 1  于标准正态分布随机变量. 若随机变量序列{ξk }，k = 1,2,…服从中心 极限定理，有 注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从正 态分布；

中心极限定理 ∑ξk-∑E(5 =1 =1 >8~N(0,1) ∑D(A) cn→0 k=1 故当n足够大时,可以认为 ∑5k-∑E(5k) =1 k=1 ~N(0,1) ∑D(5) =1 近似成立,或 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 ~ (0,1) ( ) ( ) 1 1 1 N D E w n k k n k k n k k    −  →    = = = as n →  故当n 足够大时，可以认为 ~ (0,1) ( ) ( ) 1 1 1 N D E n k k n k k n k k    = = = −    近似成立，或

中心极限定理 ∑5~N∑E(5∑D(5) k=1 k=1 k=1 近似成立. 许多相互独立的微小 因素的叠加总和 注3给出了概率的近似计算公式 若随机变量序列{},k=1,2服从中心极 限定理,则有 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学            = = = n k k n k k n k k N E D 1 1 1  ~ ( ), ( ) 近似成立. 许多相互独立的微小 因素ξk的叠加总和. 注3 给出了概率的近似计算公式. 若随机变量序列{ξk }，k = 1,2,…服从中心极 限定理，则有

中心极限定理 ∑5k-∑E(5 Px1≤ k=1 k=1 <x2}≈c(x2)-(x1) ∑D(5) k=1 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 x x x D E P x n k k n k k n k k   −                 −     = = =   

中心极限定理 、几个中心极限定理介绍 林德伯格—列维定理 林德伯格定理 棣莫佛拉普拉斯定理李雅普洛夫定理 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 二、几个中心极限定理介绍 林德伯格—列维定理 棣莫佛—拉普拉斯定理 林德伯格定理 李雅普洛夫定理

中心极限定理 定理453(林德伯格列维定理、独立 同分布中心极限定理) 设{k},k=1,2是一个相互独立,具有相 同分布的随机变量序列,且E(k)=a,D(k) 02≠0,(k=1,2,),{}服从中心极限定 理,即有 使各叠 ∑5k-n 加项 lim P k=1 <x}=(x)“均匀 n→00 no 地小 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 定理4.5.3（林德伯格—列维定理、独立 同分布中心极限定理） 设{ξk }，k =1,2…是一个相互独立，具有相 同分布的随机变量序列，且 E(ξk ) = a， D(ξk ) =σ2≠0，（k=1,2, …）， {ξk }服从中心极限定 理，即有 lim ( ) 1 x Φ x n n P n k k n =                 − = →    使各叠 加项 “均匀 地小

中心极限定理 证记E-m(k=1,2,…)的特征函数为(t),则 ∑(5k-a) =1 的特征函数 O√n 而且因 g(0)=E(-a)=0,g(0)=-a2 →p()=1-a2t2+0(t -t2+0(2)1→)e2 O√n 2n up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 证 记 k − a(k = 1,2, )的特征函数为(t),则 , ( ) 1             − = = n t n a n k k n      的特征函数为 而且因 2 (0) = E( − a) = 0,(0) = − ( ) 2 1 ( ) 1 2 2 2  t = −  t + o t  =            n t   2 2 2 2 ( )] 2 1 [1 t e n n t t o n − − + →

中心极限定理 2是连续函数,且为标准正态分布的特征函 数,根据连续性定理知 ∑5k lim P k=l <x}=φ(x) vno 根据林德伯格列维定理, ‖高尔顿钉板试验重复试验次数估计 装车问题 「报亭售报问题 up川电子科技大学

中 心 极 限 定 理 电子科技大学 是连续函数，且为标准正态分布的特征函 数，根据连续性定理知 2 2 t e − lim ( ) 1 x Φ x n n P n k k n =                 − = →    装车问题 重复试验次数估计 报亭售报问题 根据林德伯格—列维定理， 高尔顿钉板试验