《线性代数》第四章 向量空间（4.4）实对称矩阵的对角化

Chapter 4(4) 实对称矩阵的对角化

Chapter 4(4) 实对称矩阵的对角化

教学要求: 1.掌握实对称矩阵的性质; 2.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法 K心

教学要求： 1. 掌握实对称矩阵的性质; 2. 掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法

.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 二.实对称矩阵的对角化

一 .实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 二.实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 1.实对称矩阵的特征值为实数 Proof.设为A的特征值,x=:为对应的特征向量 则Ax=Ax,x≠0. 用表示的共轭复数x=:表示的共轭向量, 则Ax=Ax=(x)=(ax)=x Mr'x=x'(nx=x'(ax=xAx (Ar)'x=(x)x=nx'lx

一 .实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 1.实对称矩阵的特征值为实数. Proof. 设为A的特征值 , 则 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) , 1 表示x的共轭向量 x x x n          =  . 1 为对应的特征向量           = xn x x  xx = x(x) = x(Ax) = (Ax)x = (x) =  x. = xAx = (x)x = xx

即(λ-)xx=0 而xx=(x1 x1x1+…+xnXn≠0 =. 由于对称矩阵A的特征值为实数,所以齐次 线性方程组 (E-A)x=0 是实系数方程组由E-A=0知必有实的基础解 系,从而对应的特征向量可以取实向量. 2.实对称矩阵的特征向量为实向量

即 ( −  )xx = 0 ( )            = n n x x x x x  x  1 1 而 = x1x1 ++ xnxn  0   =  . , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = E A E A x A i i i    2.实对称矩阵的特征向量为实向量

3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的 Proo.A1=A1n,Ap2=A2P2,且≠2 A对称∴A=A', 于是A2pP2=p12D2=D14p2=m14p2 =(4p1)'P2=(A1D1)P2=A1D1P2 →(41-42)p12=0. A1≠2,∴P2=0.即1与2正交 4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等. K

3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的. Proof. , , , Ap1 = 1 p1 Ap2 = 2 p2 且1  2  A对称, A = A , 于是 2 1 2  p p ( ) 0.  1 − 2 p1  p2 = , 1  2 .  p1  p2 = 0. 即p1与p2正交 1Ap2 = p 1 2 = (Ap ) p 4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等. p12 p2 =  p1A p2 =   1 1 2 = ( p ) p . 1 p1 p2 =  

二实对称矩阵的对角化 定理设A为m阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 PAP=dig(1,…an) 其中A1,…λn是A的特征值 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为: (1)求4的特征值1; (2)由(41E-A)x=0,求出4的特征向量,…,n; (3)将51,…,n正交化单位化得p1,…,pn; (4)令P=(p1…,pn)则P1AP=lig(4,…,xn)

二.实对称矩阵的对角化 , . ( , ) , , 1 1 1 其中 是 的特征值 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 A P AP diag A n P n n      − =  定理. 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为： (2) ( ) 0, , , ; 由 iE − A x = 求出A的特征向量1   n (1) ; 求A的特征值i (3) , , , , , ; 将 1   n正交化 单位化得p1  pn (4) ( , , ) ( , , ). 1 1 P = p1  pn P AP = diag   n 令 则 −

利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为: (1)求4的特征值2; (2)由(4E-A)x=0,求出4的特征向量51,…,fn (3)令P=(5,…,En则PAP=dig(A1,…,n) 011 ex1.已知410-11 求一正交矩阵P使P-AP为对角阵

利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为： (2) ( ) 0, , , ; 由 iE − A x = 求出A的特征向量1   n (1) ; 求A的特征值i (3) ( , , ) ( , , ). 1 1 P =  1   n P AP = diag   n 令 则 − . 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1. 求一正交矩阵 使 1 为对角阵 已知 P P AP ex A −             − − − − =

Solution. E-A=(n-1),(+3) 特征值为=2=3=1,4=-3 将A1=1代入(aE-A)x=0,有 E-A 1000 000 000 000 x1=x2+x3 2 2 3 3 求得基础解系 0 2 010 4

Solution. ( 1) ( 3) 3  E − A =  −  + 特征值为1 = 2 = 3 = 1,4 = −3 将1 = 1代入(E − A)x = 0,有             − − − − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 E A             − − → 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1        = = = = + − 4 4 3 3 2 2 1 2 3 4 x x x x x x x x x x 求 得 基 础 解 系 , 0 0 1 1 1              = , 0 1 0 1 2              = . 1 0 0 1 3            −  =

K 正交化,m1=(1,1,0,0),n2= ,,0) 22 1) 333 112 单位化,p1=( 0,0),p2=( 22 √6’、6 1113 √12 12√12√12 将4=3代入(E-A)x=0,有 100-1 3E-4= L-Ic 31 0101 0011 1-1-3 0000

正交化, (1,1,0,0) , 1  =  ,1,0) , 2 1 , 2 1 ( 2  = −  ,1) . 3 1 , 3 1 , 3 1 ( 3  = −  单位化, ,0,0) , 2 1 , 2 1 ( 1 p =  ,0) , 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 2 p = −  ) . 12 3 , 12 1 , 12 1 , 12 1 ( 3 p = −  将4 = −3代入(E − A)x = 0,有             − − − − − − − − − − − − − − = 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 1 3E A             − → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1