电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 连续型随机变量 §2.1 随机变量的直观意义与定义

连续型随机变量 21.2.20 52.1随机变量的直观意义与定义 五、连续型随机变量与密度函数 例子m射击试验仪器寿命问题 定义214设随机变量ξ的分布函数为F(x),若 存在非负函数f(x,对于任意实数x,均有 F(x)= f(t)dt 称随机变量ξ有绝对连续型分布称函数f(x) 为ξ的密度函数 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 例子 定义2.1.4 设随机变量ξ 的分布函数为F( x ), 若 存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数 x , 均有 称随机变量ξ 有(绝对)连续型分布,称函数 f ( x ) 为ξ 的密度函数. − = x F(x) f (t)dt 射击试验 仪器寿命问题 §2.1 随机变量的直观意义与定义 五、连续型随机变量与密度函数

连续型随机变量 21.2.20 注连续型随机变量的分布函数Fx)是绝 对连续函数.P98 另一寇义若存在非负可积函数f(x),x∈R, +oO f(r)dx<oo 使随机变量值于任一区间(b)的概率可表 示为 b Pa<5<b= f(x)dx 称随机变量有连续型分布.P97 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 注 连续型随机变量ξ的分布函数F(x)是绝 对连续函数. P98 另一定义 若存在非负可积函数 f(x), x∈R，    = b a P{a  b} f (x)dx 称随机变量ξ有连续型分布. P97  +  − f (x)dx   使随机变量ξ取值于任一区间(a, b)的概率可表 示为

连续型随机变量 21.2.20 若将P{a<与<b理解为a,b)上的质量则f(x) 可理解为质量密度 注(1)是连续型随机变量,则对任意实数 ∈R 有 P{9=x0}=0 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 若将P{a    b}理解为(a,b)上的质量,则f (x) 可理解为质量密度. a b 注 (1)ξ是连续型随机变量，则对任意实数 x0∈R，有 P{ξ= x0 } =0

连续型随机变量 21.2.20 证当△x>0,有 {2=x}∈{x≤50,由F(x)的连续性有 →0≤P{=x}≤F(x+△x)-F(x)→>0 故 (2)P()=0,但是其逆不真 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 证 当x  0, 有 { = x}  {x    x + x}  0  P{ = x}  P{x    x + x} = F(x + x) − F(x) 令x → 0，由F(x)的连续性有  0  P{ = x}  F(x + x)− F(x) → 0 故 P{ξ= x } = 0. （2）P( f ) = 0, 但是其逆不真

连续型随机变量 21.2.20 概率密度函数的性质 (1)f(x)≥0; 概率曲线下 总面积为1 (2)|f(x)d=1 若函数f(x)满足上述(1和(2,则它必是某个 概率空间上连续型随机变量的概率密度. (3)P{x1<5≤x2}=P{x1≤5<x2 =P{x1≤5≤x2}=P{x1<5<x2} 如{x1≤5≤x}={x1≤5<x2出{=x2} <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 概率密度函数的性质 (1) f (x)  0; (2) ( ) = 1  +  − f x dt 概率曲线下 总面积为1 若函数f (x)满足上述(1)和(2),则它必是某个 概率空间上连续型随机变量的概率密度. (3) { } { } P x1    x2 = P x1    x2 { } { } = P x1    x2 = P x1    x2 { } { } { } 如 x1    x2 = x1    x2   = x2

连续型随机变量 21.2.20 (4)若f(x)在点x处连续则有 dF(x) =f(x) 因 dF(x) =∫。(r=/(x 性质的应 概率密度判定 用实例 「函数参数确定 概率的计算 u>电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 (4) 若f ( x )在点x 处连续,则有 ( ), ( ) f x dx dF x = [ ( ) ] ( ). ( ) f t dt f x dx dF x x =  = − 因 性质的应 用实例 概率密度判定 函数参数确定 概率的计算

连续型随机变量 21.2.20 六、常用连续型分布 1)均匀分布 设随机变量密度函数为 ∫(x)=b ,aSx≤b 其他 称随机变量在区间(a,b)上服从均匀分布2 记为~U(a,b) 特点随机变量ξ概率为在(a,b)上取值; <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 (1) 均匀分布 设随机变量ξ的密度函数为 称随机变量ξ在区间 (a, b ) 上服从均匀分布, 记为ξ ~ U( a, b ).        = − 0, . , ; 1 ( ) 其 他 a x b f x b a 六、常用连续型分布 特点1 随机变量ξ概率为1在 (a, b ) 上取值；

连续型随机变量 21.2.20 特点2随机变量在(a,b)的子区间的 概率与位置无关,仅与长度成正比 0a c d c+l d+ b 即对于(c,c+l)c(a,b),有 c+l P{c电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 特点2 随机变量ξ落在 (a, b ) 的子区间的 概率与位置无关，仅与长度成正比. o a b 即对于( c, c + l ) (a, b ) ，有 ∪  + −   + = c l c dx b a P c c l 1 {  } b a l − = c d c+l d+l

连续型随机变量 21.2.20 应用(1)大量试验服从均匀分布; (2)是计算机摸拟的基础 例如m参见例子 (2)正态分布 设随机变量ξ的概率密度函数为 C-a q(x;a,a2)= 公102 ∈ R 2 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 应用 (1) 大量试验服从均匀分布; (2) 是计算机摸拟的基础. 例如 参见例子 设随机变量ξ的概率密度函数为 j( x; a, s2 ) = e x R x a  − − , 2 1 2 2 2 ( ) s s (2) 正态分布

连续型随机变量 21.2.20 其中a,σ(σ>0)是常数,则称随机变量从 参数为a,a2的正态分布(高斯记为~Na,G2) 特别当a=0,σ=1时,其概率密度为 2 q(x)=p(x;0,1)= 2,x∈ R 2兀 称随机变量服从标准正态分布即N0,1) 注可证明以(x;a,a2)是密度函数(P101 <u电子科技大学

电子科技大学 连续型随机变量 21.2.20 其中a , s ( s  0)是常数, 则称随机变量ξ服从 参数为 a, s 2 的正态分布(高斯),记为ξ ~ N(a , s 2 ) 特别当 a = 0, s = 1时, 其概率密度为 j( x ) = j( x; 0, 1 ) = , x ∈R 称随机变量ξ服从标准正态分布,即ξ~ N(0, 1). 2 2 2 1 x e −  注 可证明 j( x; a, s 是密度函数 (P101). 2 )