《线性代数》第五章（5.1）曲面与曲线

Chapter 5(1)

Chapter 5(1) 曲面与曲线

A 教学要求: 1.理解曲面方程的概念; 2.会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程 3.了解空间曲线的参数方程和一般方程; 4.了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程 K心

教学要求： 1. 理解曲面方程的概念; 2. 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于 坐标轴的柱面方程; 3. 了解空间曲线的参数方程和一般方程; 4. 了解空间曲线在坐标平面上的投影, 并会求其方程

入A额 曲面及其方程 球面 旋转曲面 柱面 曲面的参数方程 空间曲线及其方程 投影方程 曲线的参数方程 K心

一 .曲面及其方程 二.空间曲线及其方程 旋转曲面 柱面投影方程 曲线的参数方程 球面曲面的参数方程

曲面及其方程 1.曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0有下述关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么,方程F(x,y,z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形 关于曲面讨论两个方面的问题: (1)已知曲面上点的轨迹,求方程; (2)已知方程,研究该方程表示的曲面的形状 K心

一 .曲面及其方程 1. 曲面方程的定义 如果曲面S 与三元方程F(x, y,z) = 0有下述关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F(x, y,z) = 0就叫做曲面S 的方程， 而曲面S 就叫做方程的图形． 关于曲面讨论两个方面的问题: (1) 已知曲面上点的轨迹, 求方程; (2) 已知方程, 研究该方程表示的曲面的形状

2.球面方程 建立球心在点M0(x0,y0,0)、半径为R的球 面方程 Solution.设M(x,y,x)是球面上任一点, 根据题意有|MM0|=R (x-x)2+(y-yn)2+(z-z0)2=R 所求方程为(x-x0)2+(y-y)2+(z-zn)=R2 讨论: x2+y2+z2-2x0x-21ny-20z+(x2+n2+2-R2)=0 K心

2. 球面方程 建立球心在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 、半径为R的球 面方程. Solution. 设M(x, y,z)是球面上任一点， 根据题意有 | MM0 |= R (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 所求方程为 x − x0 + y − y + z − z = R 讨论: 2 2 2 ( ) 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0 2 2 2 x + y + z − x x − y y − z z + x + y + z − R =

可见x2,y2,z的系数相同且不含xy,yz,x项 (1)球面方程的一般形式为 x+y+z +Ax+ By+Cz+D=0 2 其中D A+B+c <0 (2)球心在原点时方程为x2+y2+z2=R2 ex1方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面? Solution.经配方可知, 方程表示球心在(1,-2,-1,半径为6的球面 K心

(2) 球心在原点时方程为 2 2 2 2 x + y + z = R , , , , , . 可见 x 2 y 2 z 2的系数相同 且不含xy yz zx项 (1) 球面方程的一般形式为 0 2 2 2 x + y + z + Ax + By +Cz + D = 0 4 2 2 2  + + − A B C 其中D 1. 2 4 2 0 ? ex 方程 x 2 + y 2 + z 2 − x + y + z = 表示什么曲面 Solution. 经配方可知, 方程表示球心在(1,−2,−1),半径为 6的球面

3.旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 这条定直线叫旋转 曲面的轴.定曲线叫 旋转曲面的母线 K心

3. 旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的 轴. 定曲线叫 旋转曲面的母线 . 播放

旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z kd→M1(,y,z1) M (1)z=1 f(y,z)=0 (2)点M到z轴的距离 d=x+y=lvl 将z=z,y=±x2+y2代入∫(y,)=0 得方程x2+y2,z)=0, 上式即为yz坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0 绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程 K心

x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z  M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到 z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y =  x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d ( , ) 0, 2 2 得方程 f  x + y z = . ( , ) 0 绕 轴旋转一周所得的旋转曲面方程 上式即为 坐标面上的已知曲线 z yoz f y z =

同理:yx坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为/(y,±x2+2)=0. xoy面上的曲线f(x,y)=0绕y轴旋转一周得 f∫(±x2+z2,y)=0 xoy面上的曲线f(x,y)=0绕x轴旋转一周得 f(x,± 2 +z2)=0 z0x面上的曲线f(x,z)=0绕z轴旋转一周得 f(±x2+y2,z)=0 z0x面上的曲线f(x,z)=0绕x轴旋转一周得 f(x,±√y2+x2)=0

同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y  x + z = xoy面上的曲线 f (x, y) = 0 绕 y 轴旋转一周得 ( , ) 0 2 2 f  x + z y = xoy面上的曲线 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转一周得 ( , ) 0 2 2 f x  y + z = zox面上的曲线 f (x,z) = 0 绕 z 轴旋转一周得 ( , ) 0 2 2 f  x + y z = zox面上的曲线 f (x,z) = 0 绕 x 轴旋转一周得 ( , ) 0 2 2 f x  y + z =

ex2.将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生 成的旋转曲面的方程 (1)z0x面上的双曲线2 1分别绕x轴和z轴; 2 绕x轴旋转 r y+z ,2=1旋 2 绕x轴旋转 x +y 转双曲 面 2 2 (2)椭圆a2 c2绕y轴和z轴 x=0 K心

ex2. 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生 成的旋转曲面的方程． (1) 0 1 ; 2 2 2 2 面上的双曲线 分别绕 x轴和z 轴 c z a x z x − = 绕x轴旋转 绕z轴旋转 1 2 2 2 2 2 = + − c y z a x 1 2 2 2 2 2 − = + c z a x y 旋 转 双 曲 面 ; 0 1 (2) 2 2 2 2 椭圆 绕 y轴和z 轴 x c z a y      = + =