《线性代数》第四章 向量空间（4.3）相似矩阵与矩阵对角化的条件

Chapter 4 33 國阵与舞阵对角

Chapter 4(3) 相似矩阵与矩阵对角化

教学要求: 1.了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的 充要条件 K心D

教学要求： 1. 了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的 充要条件

A 相似矩阵的定义与性质 二矩阵的对角化 K心[

一 .相似矩阵的定义与性质 二.矩阵的对角化

相似矩阵的定义与性质 1.定义 设4,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使 P AP=B, 则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似 记为A~B. 对A进行运算PAP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

一 .相似矩阵的定义与性质 1. 定义 , . , , , , 1 则称 是 的相似矩阵 或说矩阵 与 相似 设 都是 阶方阵 若有可逆矩阵 使 B A A B P AP B A B n P = − 记为 A ~ B. . , 1 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵 对 进行运算 称为对 进行相似变换 P A B A P AP A −

2.性质 (1)A~A;(∵E-AE=A) (2)若A~B,则B~A; (:PAP=B,∴PBP=A,即(P-)BP=A) (3)若A~B,B~C,则A~C; (∵PAP=B,9BQ=C, OP- APO=C, Bp(PO)A(P0)=C) (4)P-(4142)P=(P41P)(P12P); (5)P(k141+k242)P=k1PA1P+k2P-A2P; 其中k1,k2是任意常数

2. 性质 (1) A ~ A; ( .) 1 E AE = A −  (2) 若A ~ B,则B ~ A; ( , 1 P AP = B −  , 1 PBP = A − ( ) .) 1 1 1 P BP = A 即 − − − (3) 若A ~ B, B ~ C,则A ~ C; ( , 1 P AP = B −  , 1 Q BQ = C − , 1 1 Q P APQ = C − − ( ) ( ) .) 1 PQ A PQ = C 即 − (4) ( ) ( )( ); 2 1 1 1 1 2 1 P A A P P A P P A P − − − = (5) ( ) ; 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 P k A k A P k P A P k P A P − − − + = + , . 其中k1 k2是任意常数

(6)若A~B,则A=B; ( P-lAP=B,:B=PAP=P-AP=A. (7)若A~B,则4~B" (∵PAP=B, B"=PAP·PP…PAP=PA"P,) (8)若A~B,则A-1~B-1; (∵PAP=B,∴B=PAP) (9)若A~B,则f(4)~f(B),其中为多项式函数 (10)若A~B,则A与B的特征值相同; K

(6) 若A ~ B,则A = B; ( , 1 P AP = B −  .) 1 1  B = P AP = P A P = A − − (7) ~ , ~ ; m m 若A B 则A B ( , 1 P AP = B −  B P AP P AP P AP m −1 −1 −1  =   .) 1 P A P − m = (8) ~ , ~ ; −1 −1 若A B 则A B ( , 1 P AP = B −  .) 1 1 1 B P A P − − −  = (9) 若A ~ B,则f (A) ~ f (B),其中f为多项式函数; (10) 若A ~ B,则A与B的特征值相同;

(∵PAP=B, aE-B=hE-p-lAP=ap-lEP-P-lAPl =P-(E-AP=E-4) 反之不一定成立!如(10 0 (11)若A~dig(,42,…,气n), 则1,2…,是4的n个特征值; A1 (∵无E-A (九-A1)…(孔-x) 2-2 令AE-A=0得1,…,是A的特征值) K

( , 1 P AP = B −  E B E P AP −1   − =  − 1 1 P EP P AP − − =  − ( ) 1 = P E − A P −  = E − A.) 反之不一定成立! . 0 1 1 1 0 1 1 0             如 与 , , , ; (11) ~ ( , , , ), 1 2 1 2 则 是 的 个特征值 若 A n A diag n n         n E A      − − − =         1 ( ( ) ( ) =  − 1   − n 0 , , .) 令E − A = 得1  n是A的特征值

exl如果4可逆证明AB与BA相似 Proo.∵A-(AB)A=BA, AB与BA相似 K

ex1.如果A可逆,证明AB与BA相似. Proof. ( ) , 1 A AB A = BA −   AB与BA相似

二矩阵的对角化 若A与对角阵A相似即A~A,则称4可对角化 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P1AP=A为对角阵,这就称为把方阵A对角化 定理1.m阶方阵A与对角阵相似即4能对角化) 台A有n个线性无关的特征向量 Pro0→设A与A=dng(列1,12,…,2)相似 则存在可逆阳P,使P1AP=A 则AP=PA 把P用其列向量表示为P=(1,p2…,pn) 圆心

二.矩阵的对角化 若A与对角阵相似,即A ~ ,则称A可对角化. , . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P =  − 定理1. . ( ) 有 个线性无关的特征向量 阶方阵 与对角阵相似 即 能对角化 A n n A A  Proof. ( , , , ) , 设A与 = diag 1 2  n 相似 , . 1 =  − 则存在可逆阵P 使P AP 则AP = P. ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2  pn

即A(P1,n2,…,n)=(m,p2,…,pn 12 (41m1,l2P2,…,nDn) A(p1,p2,…,pn)=(41,2,…,4pn) (41n1,l2P2 29,/npn 于是有1=41n1(=1,2,…,n) 可见是4的特征值而P的列向量p就是 A的对应于特征值λ的特征向量

( ) ( )             = n n n A p p p p p p       2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2  n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , ,  1 2  = 1 2  ( )  p  p n pn , , , = 1 1 2 2  Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i =  . , 的对应于特征值 的特征向量 可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 i i i A A P p  