电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章（2.4）随机变量的函数及其分布

随机变量的函数及其分布 21.2.20 §24随机变量的函数及其分布 、随机变量的函数 问题的由来 很多实际问题中需要研究以随机变量为自 变量的函数 一般,若(1,52,)是已知联合分布的n维 随机变量,则

随机变量的函数及其分布 21.2.20 §2.4 随机变量的函数及其分布 问题的由来 很多实际问题中需要研究以随机变量为自 变量的函数. 一般，若(ξ1 ,ξ2 ,…,ξn )是已知联合分布的n维 随机变量，则 一、随机变量的函数

随机变量的函数及其分布 21.2.20 7=h(51,2…,5n),(i=1,2,…,k) 都是随机变量,其中 d ur 19 29 n),( 是n元连续函数 「问题 1)如何确定(1,2,…,)的联合分布? 2)如何确定(Ⅵ1,2,…,n)的每一个分量的 分布?

随机变量的函数及其分布 21.2.20 ( , , , ), ( 1,2, , ) 1 2 h i k i = i     n =  都是随机变量，其中 . ( , , , ), ( 1,2, , ) 1 2 是n元连续函数 hi x x  xn i =  k 问题 1）如何确定(η1 ,η2 ,…,ηn )的联合分布？ 2）如何确定(η1 ,η2 ,…,ηn )的每一个分量的 分布？

随机变量的函数及其分布 21.2.20 基本解答 Fn,n(1,2,…,yn)=P<y,2<y2,“,mn<J =Ph1(1,52,5n)<y1,h2(51,42,…5n)<y2, ,bn(51,92,…5n)<yn} 特别着m=(2) F()=P<=P()<y=P{∈h1(-,y 当ξ是连续型随机变量,有

随机变量的函数及其分布 21.2.20 基本解答 ( , , , ) { , , , } , , , 1 2 1 1 2 2 1 2 n n n F y y y P y y y n     =        , ( , , ) } { ( , , ) , ( , , ) , 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 n n n n n h y P h y h y  =                F ( y) = P{  y}  = P{h( )  y} { [( , )]} 1 = P h −  y −  特别若 当ξ是连续型随机变量，有  = h( )

随机变量的函数及其分布 21.2.20 Fn(y)=P{(5)<y= fe(x)dx dEng(xk<y) f(y)= ∫F(x),f2(y)的连续点 其他 例341 「例3.4.2 三、离散型随机变量的函数及其分布列 离散型随机变量的分布列为 P=x=pi, ●●●

随机变量的函数及其分布 21.2.20   =  = { ( ) } ( ) { ( ) } ( ) x g x y F y P h y f x dx        = 0, . ( ), ( ) ; ( ) 其 他 F x f y 的连续点 f y    例3.4.1 例3.4.2 P{ = x } = p , i = 1,2,... i i  离散型随机变量ξ的分布列为 二、离散型随机变量的函数及其分布列

随机变量的函数及其分布 21.2.20 =h(引是随机变量,则 P{=n;}=P{(5)=y1} =∑P{5=x},j=12 x;∈S 其中S={x(x)=y,1满足(x) 的全体x 二维离散型随机变量(列)的联合分布列为 P5=x,7=y;}=P =1.2

随机变量的函数及其分布 21.2.20 { } { ( ) } i i P  = y = P h  = y { ( ) } j i i j 其中S = x h x = y =  { = }, = 1,2,...  P x j xi S j  i 满足 h(xi ) =yj 的全体 xi η=h(ξ) 是随机变量, 则 二维离散型随机变量(ξ,η )的联合分布列为 P{ = x , = y } = p i = 1,2,...  i  j i j

随机变量的函数及其分布 21.2.20 k=g(2,n)是随机变量则 P{=xk}=P{8(5,)=xk} =∑P5=x,=y},k=1,2 (x,y;)∈Tk 其中={(x,y)(x,y)=ak} 例343 例344

随机变量的函数及其分布 21.2.20 ζ =g(ξ,η) 是随机变量, 则 { } { ( , ) } k k P  = z = P g   = z {( , ) ( , ) } k i j k 其 中T = x y g x y = z { , }, 1,2,... ( , ) =  = = =  P x y k i j Tk x y i  j  例3.4.3 例3.4.4

随机变量的函数及其分布 21.2.20 定理241-1设随机变量(5是离散型随机变 量,,相互独立其分布律分别为 P{5=k}=p(k)k=0,1,2, P{=r}=q(P)P=0,1,2, ●● 则+的分布律为 PI5+n=m)=P(k)q(m-k) m=,1, 2, k=0 例34.5 离散卷 积公式

随机变量的函数及其分布 21.2.20 定理2.4.1-1 设随机变量(ξ,η)是离散型随机变 量, ξ,η相互独立,其分布律分别为 P{ = k} = p(k) k = 0,1,2,... P{ = r} = q(r) r = 0,1,2,... 则ξ+η 的分布律为 例3.4.5 { } ( ) ( ) ,1,2,.. 0 + = =  − = = P m p k q m k m m k   离散卷 积公式

随机变量的函数及其分布 21.2.20 结论若1,2…,1相互独立且B(1,P则 1+22+…+n~B(n,p) 反之若ξ~B(n,p),则存在相互独立的 B(1,p),使 3=1+52+…+n 般1)随机变量3,52,…,n相互独立; 2)具有相同类型的分布 令 7=∑ k=1

随机变量的函数及其分布 21.2.20 结论 若ξ1 , ξ2 ,…,ξn相互独立,且ξi~ B(1, p)则 ξ1+ξ2 +…+ξn ~ B(n, p) 反之若ξ~ B(n, p) , 则存在相互独立的 ξi~ B(1, p)，使 ξ = ξ1+ξ2 +…+ξn 一般 1）随机变量ξ1 , ξ2 ,…,ξn 相互独立； 2）具有相同类型的分布； 令 = = n k k 1  

随机变量的函数及其分布 21.2.20 的分布除参数变化而分布类型不变称分布具 有可加性 「二项分布具有可加性 泊松分布具有可加性 自证

随机变量的函数及其分布 21.2.20 二项分布具有可加性 泊松分布具有可加性 的分布除参数变化,而分布类型不变,称分布具 有可加性. 自证

随机变量的函数及其分布 21.2.20 、连续型随机变量和的分布 设随机变量(,)的联合概率密度为八x1,x2) F5+6(x)=P{51+2<x f( x.)a,,,,,,, dr 19 2 Xr<x xfx=x 令 z=1+

随机变量的函数及其分布 21.2.20 二、连续型随机变量和的分布 设随机变量(ξ,η)的联合概率密度为f(x1 , x2 ) ( ) { } F 1 + 2 x = P  1 +  2  x 1 2 1 2 1 2 f (x , x ) dx dx x x x  +  = x1+x2 = x x1 x2 o    = + = 1 2 1 1 z x x x x 令