聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 度量空间与连续映射 §2.1 度量空间与连续映射

拓扑空间与连续映射 1

1 拓扑空间与连续映射

§2.1度量空间与连续映射 定义2.1.1设X是一个集合， p:X×X→R如果对于任何xy,z∈X 有 (1)p(x,y)≥0， 并且p(x,y)=0当且仅且x=y; 2

2 §2.1 度量空间与连续映射 定义2.1.1 设 X 是一个集合， 如果对于任何 x,y,z∈X, 有  : . X X R  → 并且 ( , ) 0当且仅且 ; (1) ( , ) 0, x y x y x y = =   

(2)p(x,y)=p(y,x) (3)p(x,z)<p(x,y)+p(y,z) 则称P是集合X的一个度量 称(X,P)是一个度量空间.在不至引 起混淆的前提下，迳称X是一个度量 空间；p(x,y)称为点x到y的距离. 3

3 (2) ρ( x,y ) = ρ ( y , x ) (3) ρ( x,z )  ρ( x, y ) +  ( y, z) 则称  是集合 X 的一个度量. ( , ) X  ( , ) x y 称 是一个度量空间. 在不至引 起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量 空间； 称为点 x 到 y 的距离

常见度量空间 >实数空间R 设p:R×R→R,对于任意x,y∈R, 令p(x,y)r-yl,容易验证p是R的 一个度量 (R,p)称为实数空间或直线这 个度量称为R的通常度量，并且常常 迳称R为实数空间

4  : R R R  → ( , ) | | x y x y = −  ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量. 常见度量空间  : R R R  → ( , ) | | x y x y = −  ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量.  : R R R  → ( , ) | | x y x y = −  ➢实数空间 R 设 ,对于任意x,y∈R, 令 ,容易验证 是 R 的 一个度量. 称为实数空间或直线.这 个度量称为 R 的通常度量，并且常常 迳称 R 为实数空间． ( , ) R 

常见度量空间 >n重笛卡儿积Rn 定义p:R”×R”→R 条为楼缘资，别 为n维既穷间，宽定的度量P 称为Rn的通常度量，n=2时，称为 欧氏平面或平面： 5

5 能够验证 为 Rn的度量，称 为 n 维欧氏空间，这里定义的度量 称为 Rn 的通常度量，n = 2 时，称为 欧氏平面或平面.  ( , ) n R   常见度量空间 : n n  R R R  → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i  x y x y = = −  ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令 : n n  R R R  → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i  x y x y = = −  ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令 : n n  R R R  → 1 2 ( , , , ) n x x x x = 1 2 ( , , , ) n x y y y = 2 1 ( , ) ( ) n i i i  x y x y = = −  ➢ n 重笛卡儿积 Rn 定义 对任意 ， 令

常见度量空间 >Hi念散敛的所有实数序列构成的 焦愈电m,个度量，(1H,P) 00 狂意演凤，庄度具宿别σ， 称为Hilbert空间.这单定义的姜量称 为H的通常度量，并且常常略而不提， 诞称Pe半间(x,-y,) =1 6

6 可以证明 是 H 的一个度量， 是一个度量空间．这个度量空间特别地 称为Hilbert空间．这里定义的度量 称 为 H 的通常度量，并且常常略而不提， 迳称H为Hilbert 空间．  ( , ) H   常见度量空间 令平方收敛的所有实数序列构成的 集合为H，记 2 1 2 1 { ( , , )| , , } i i i H x x x x R i Z x  + = = =      定义 ， 对任意 设  : H H R  →1 2 1 2 x x x y y y = = ( , , ) , ( , , ) 2 1 ( , ) ( ) i i i  x y x y  = = −  定义 ， 对任意 设  : H H R  →1 2 1 2 x x x y y y = = ( , , ) , ( , , ) 2 1 ( , ) ( ) i i i  x y x y  = = −  ➢Hilbet空间

常见度量空间 >离散的度量空间 设(X,p)是一个度量空间，若对于每 一个x∈X,存在一个实数δ，>0使得 对于任何一个y∈X,y≠x,均有 p(x,y)>6 7

7 常见度量空间 ➢离散的度量空间 设 是一个度量空间，若对于每 一个 x∈X ，存在一个实数 使得 对于任何一个 ，均有 ( , ) X  0 x   y X y x   , ( , ) x   x y  ➢离散的度量空间 设 是一个度量空间，若对于每 一个 x∈X ，存在一个实数 使得 对于任何一个 ，均有 ( , ) X  0 x   y X y x   , ( , ) x   x y 

离散空间的例子 设X是一个非空集合，定义 p:X×X→R 使得对于任何xy∈X,有 if x=y fx≠y 则P是X的一个离散度量. 8

8 离散空间的例子  : X X R  → 0 if ( , ) 1 if x y x y x y   = =    设 X 是一个非空集合，定义 使得对于任何x,y∈X,有 则  是 X 的一个离散度量.  : X X R  → 0 if ( , ) 1 if x y x y x y   = =    设 X 是一个非空集合，定义 使得对于任何x,y∈X,有 则  是 X 的一个离散度量

问题 ◆在非空集合X上定义度量的方 式是否唯一？ ◆想一想列才给出的离散度量空 间有什么性质？ 9

9 问 题 ◆在非空集合 X 上定义度量的方 式是否唯一？ ◆想一想刚才给出的离散度量空 间有什么性质？

定义2.1.1设(X,p是一个度量 空间，x∈X,对于任意给定的￡>0， 集合 {y∈X|p(x,y)<&} 称为一个以x中心，￡为半径的球形 邻域，记作B(x,&)orB(x) 10

10 定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X    0 { | ( , ) } y X x y      B x or B x ( , ) ( )   定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X    0 { | ( , ) } y X x y      B x or B x ( , ) ( )   定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X    0 { | ( , ) } y X x y      B x or B x ( , ) ( )  