运城学院：《复变函数论 Theory of Functions of Complex Variable》课程教学资源（讲义课件）解析函数

一、复变函数导数与微分 定义2.1设函数w=f(z)在点z的某邻域内有定义 。+△x是邻域内任意一点， △w=f(z+k)-f(z),如果 lim 4"=lim,+4)-f）=4有限值 k→0 k 则称函数f(z)在z,处可导，A称为函数f(z)在z处的 导数，记为f'(zo),即 f')=lim3+4)-f) 4k-→0 k

一、复变函数导数与微分 是邻域内任意一点， 设函数 在点 的某邻域内有定义 z z w f z z , +  = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 有限值 ，如果 A z f z z f z z w w f z z f z z z = + − = = + − → →         0 0 0 导数，记为 ，即 则称函数 在 处可导， 称为函数 在 处的 '( ) ( ) ( ) f z f z z A f z z z f z z f z f z z    ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → 定义2.1

由此可得w=f'(z)k+o(IkD(z→0) 称f'(zo)4z为函数f(z)在z处的微分，也称函数 f(2在z,处可微。记作 df()=f)d 说明按任意方式趋于零： 2)f在z可导与fz)在z可微等价： 3)若f)在z处可导，则f)在z处连续 4当L→0时，A"的极限不存在，称f在，不可导 △

'( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z  → ( ) d f (z ) f (z )d z f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) =  在 处可微。记 作 称  为函数 在 处的微分，也称函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z f z z f z z ; f z z f z z ; Δz 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 在 可导与 在 可微等价 0 0 0 0 0 4 0 3 2    → (1) 按任意方式趋于零； 说明：

例1证明f(z)=Rz在复平面上的任何点都不可导 证明 对于复平面上任意一点。 △fRe(z+△)-Re(zo)x+r-x △x △z △z Ax +iAy △x+i△y 当△取实数趋于O时，△f/△z→1； 人取纯虚数趋于0时，△f/△z→0； lim 不存在 △z-→0△Z 即f(z)在z,不可导，由于z的任意性，f()在复平面上 任何点都不可导 注意：f(z)在整个复平面上处处连续

例1 证 明 f (z) = Re z在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z  +  − =   0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x    + + − = x i y x  +   =       →    → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在     →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f (z )在整个复平面上处处连续

二、解析函数的概念与求导法则 1、解析函数的概念 定义2.2 如果f(z)在z及z的某邻域内处处可导， 则称f(z)在z处解析如果f(z)在z不解析，则 称z为f(z)的奇点。 如果f(z)在区域如内处处解析，则称 在D内解析，我们也说z是D内解析函数 如果f(z在区域G内解析，而闭区域上每 一点都属G,那么称(z)在闭区域0上解析

二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f (z ) D f (z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f (z ) D . f (z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域上 每 定义2.2 1、解析函数的概念

注1“解析”有时也称 “全纯”、“正则” 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析

注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析

2、求导法则 (1)四则运算法则 如果(z)和g(z在区域内解析则 f)±8(a.fzga, g (g(z)≠0)在区域D内解析， 并且有 [f(a)±ga=f"(a)±g'(z) aga=fga)+fag(a (周)-reg6id

（1）四则运算法则 如 果f (z)和g(z)在区域D内解析,则 ( ) ( ) 并且有 ( g(z ) )在区域D内解析， g z f z f (z ) g(z ) , f (z )g(z ) ,  0  ( ) ( )  ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = +  =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g (z) f z g z f z g z g z f z 2  −  =          2、求导法则

(2)复合函数求导法则 设函数ξ=f(z)在区域D内解析，函数 w=g(飞)在区域G内解析，又f(D)cG(f(D以 则复合函数w=g(f(z》=(z在区域D内解析， 并且有： '(z)=[g(f(z)川'=g'(f(z)f'(z)

（2）复合函数求导法则 在区域 内解析，又 ， 设函数 在区域 内解析，函数 w g( ) G f ( D ) G( f ( D ) ) f (z ) D =    = h'(z) = [g( f (z))]'= g'( f (z))f '(z) 并且有： 则复合函数w = g( f (z ) ) = h(z )在区域D内解析

(3)反函数求导法则 设函数v=f(z)在区域D内解析， 且f'(z)≠0，又反函数 z=-(w)=p(w)存在且为连续 则有： 1 1 p'(w)= f'(z \z=o(w) f'(o(w))

（3）反函数求导法则 且 ，又反函数 设函数 在区域 内解析，  0 = f'(z ) w f (z ) D '( ( )) 1 '( ) 1 '( ) ( ) f z f w w z w    = = = 则有： z = f −1 ( w ) = ( w )存在且为连续

三、函数解析的一个充分必要条件 定理2.1 设函数f(z)=(,y)+iv(x,y)在区域D内有定义， 那么f(z)在点z=x+y∈D可微的必要与充分条提 ()(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微， (2)(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方 程（简称C-R方程） 4= O Ov Ov O ay 器 =一 dx

三、函数解析的一个充分必要条件 (1) u(x, y)和v(x, y)在点(x, y)处可微， 程（简称 方程）： 和 在点 处满足柯西 黎曼方 C R u x y v x y x y − (2) ( , ) ( , ) ( , ) - x v y u y v x u         = = − 那 么 在 点 可微的必要与充分条件是 设函数 在区域 内有定义， f z z x iy D f z u x y iv x y D = +  = + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 定理2.1

证明（必要性） 设f(z)在z=x+iy处可导，记作'(z)=a+ib, 则有 f(z+Az)-f(z)=(a+ib)Az+o(Az) =(a+ib)(Ax+iAy)+(Az) 其中f(z+△z)-f(z)=△u+i讼y,按实部 和虚部整理得：

证明（必要性） 则 有 设f (z)在z = x + i y处可导，记作f '(z) = a + i b， ( )( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |) a ib x i y o z f z z f z a ib z o z       = + + + + − = + + 和虚部整理得： 其 中f (z + z )− f (z ) = u + iv，按实部