聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二章 度量空间与连续映射 §2.2 拓扑空间与连续映射

§2.2拓扑空间与连续映射

§2.2 拓扑空间与连续映射

定义2.2.1设X是一个非空集 合，T是X的一个集族，如果满足如 下条件： (1)X,0∈T (2)若A,B∈T,则A∩B∈T (3)若T1cT,则UA∈T 则称T是X的一个拓扑. A∈T1

定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合，T 是 X 的一个集族，如果满足如 下条件： （1） （2）若 ，则 （3）若 ，则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B  T T T 1  T1 T A A   定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合，T 是 X 的一个集族，如果满足如 下条件： （1） （2）若 ，则 （3）若 ，则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B  T T T 1  T1 T A A   定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合，T 是 X 的一个集族，如果满足如 下条件： （1） （2）若 ，则 （3）若 ，则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B  T T T 1  T1 T A A   定义2.2.1 设 X 是一个非空集 合，T 是 X 的一个集族，如果满足如 下条件： （1） （2）若 ，则 （3）若 ，则 则称T 是 X 的一个拓扑. X , T A B, T A B  T T T 1  T1 T A A  

>如果T是集合X的拓扑，则称 (X,T)是一个拓扑空间. >T中的每一个元素都叫做拓扑空间 (X,T)中的一个开集 >集合中的元素称为拓扑空间X中的点 例X=1,2},T={中，X,1}

➢如果 T 是集合X 的拓扑，则称 （X，T）是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 （X，T）中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { }  ➢如果 T 是集合X 的拓扑，则称 （X，T）是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 （X，T）中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { }  ➢如果 T 是集合X 的拓扑，则称 （X，T）是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 （X，T）中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { }  ➢如果 T 是集合X 的拓扑，则称 （X，T）是一个拓扑空间. ➢T 中的每一个元素都叫做拓扑空间 （X，T）中的一个开集. ➢集合中的元素称为拓扑空间X中的点. 例 X X ={1, 2}, , ,{1} T= { } 

上一节定理 定理2.1.2度量空间X中的开集 具有以下性质： (1)集合X本身和空集中都是开集； (2)任意两个开集的交是一个开集； (3)任意一个开集族的并是一个开集

 定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质： (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集.  定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质： (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集.  定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质： (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集.  定理 2.1.2 度量空间 X 中的开集 具有以下性质： (1) 集合 X 本身和空集 都是开集; (2) 任意两个开集的交是一个开集; (3) 任意一个开集族的并是一个开集. 上 一 节 定 理

定义2.2.2设(X,p)是一个度量 空间.令T,为由X中的所有开集构 成的集族.则T。是X的一个拓扑. 我们称T。为X的由度量P诱导出 来的拓扑

定义2.2.2 设 是一个度量 空间．令 为由 X 中的所有开集构 成的集族．则 是 X 的一个拓扑． 我们称 为 X 的由度量 诱导出 来的拓扑． ( , ) X  T T T  定义2.2.2 设 是一个度量 空间．令 为由 X 中的所有开集构 成的集族．则 是 X 的一个拓扑． 我们称 为 X 的由度量 诱导出 来的拓扑． ( , ) X  T T T 

注 >如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑T。: >在称度量空间(X,p)为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间(X,T。)

T ( , ) X  ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 ； ➢在称度量空间 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间 . T ( , ) X  ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 ； ➢在称度量空间 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间 . T ( , ) X  ( , ) X T 注 意 ➢如果没有特别说明，我们提到度量 空间的拓扑时，指的就是拓扑 ； ➢在称度量空间 为拓扑空间 时，指的就是拓扑空间

拓扑空间的例子 >平庸空间 设X是一个非空集合，令T={中，X} 易知T是X的拓扑，X的这个拓扑 称为X的平庸拓扑. 拓扑空间(X,T)称为平庸空间

拓 扑 空 间 的 例 子 T={ , }  X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑，X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间（X , T）称为平庸空间. T={ , }  X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑，X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间（X , T）称为平庸空间. T={ , }  X ➢平庸空间 设 X 是一个非空集合,令 易知 T 是 X 的拓扑，X 的这个拓扑 称为 X 的平庸拓扑. 拓扑空间（X , T）称为平庸空间

拓扑空间的例子 >离散空间 设X是一个非空集合，令T=P(X) 容易验证T是X的拓扑，称为X的离 散拓扑.(X,T)称为离散空间： 例：X={a,b,T={p,X,{a},b} 则T是X的离散拓扑

拓 扑 空 间 的 例 子 X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合，令T = P（X） 容易验证T 是X 的拓扑，称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例： 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合，令T = P（X） 容易验证T 是X 的拓扑，称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例： 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合，令T = P（X） 容易验证T 是X 的拓扑，称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例： 则T 是X 的离散拓扑. X a b = { , } T= { } , ,{ },{ } X a b ➢离散空间 设 X 是一个非空集合，令T = P（X） 容易验证T 是X 的拓扑，称为X的离 散拓扑. (X , T )称为离散空间. 例： 则T 是X 的离散拓扑

石扑空间的例子 >有限补空间 设X是一个非空集合，令 T={U|UcX且U是X的一个有限集}U{} 下面我们验证T是X的拓扑

拓 扑 空 间 的 例 子 ➢有限补空间 设 X 是一个非空集合，令 下面我们验证T 是X 的拓扑. T = {U |U  X且U是X的一个有限集} {} ➢有限补空间 设 X 是一个非空集合，令 下面我们验证T 是X 的拓扑. T = {U |U  X且U是X的一个有限集} {}

(1)因为X'=,故X∈T,又由 定义有0∈T; (2)设A,B∈T,若A,B之中有一个 是空集，则有A⌒B=中∈T； 下面假定A,B都不是空集，此时 有(A∩B)'=A'UB'是一个 有限集，所以A⌒B∈T

(1)因为 ，故 ，又由 定义有 ； (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集，则有 ； 下面假定A,B都不是空集，此时 有 是一个 有限集，所以 . X  =  X T  T A B, T A B  =  T ( ) A B A B  =     A B  T (1)因为 ，故 ，又由 定义有 ； (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集，则有 ； 下面假定A,B都不是空集，此时 有 是一个 有限集，所以 . X  =  X T  T A B, T A B  =  T ( ) A B A B  =     A B  T (1)因为 ，故 ，又由 定义有 ； (2)设 ,若A,B之中有一个 是空集，则有 ； 下面假定A,B都不是空集，此时 有 是一个 有限集，所以 . X  =  X T  T A B, T A B  =  T ( ) A B A B  =     A B  T