聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 集合论初步 第三节 关系

P放衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第三节关系 厚德博学笃志精算 我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数，次序， 运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于 给出了某些给定几个的元素之间的某种联系为了明确地 定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必须 先有两个集合的笛卡儿积这个概念， 求实务实 踏实扎实

第三节 关系 我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数，次序， 运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于 给出了某些给定几个的元素之间的某种联系.为了明确地 定 义它们，我们先定义“关 系”，而为了定义关系，又必须 先有两个集合的笛卡儿积这个概念

P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义131设X和Y是两个集合。集合{(，y)r∈X,y∈Y} 称为X与Y的笛卡儿积，记作X×Y,读为X叉乘Y。其中(x,y)是 一个有序偶，x称为(x,y)的第一个坐标，y称为(x,y)的第二个坐 标。X称为X×Y的第一个坐标集，Y称为X×Y的第二个坐标集。 集合X与自身的笛卡儿积X×X称为X的2重（笛卡儿）积，通常 简单记作X2。 求实务实 踏实扎实

定义 1.3.1 设 X 和Y 是两个集合。集合( x y x X y Y , , )    称为 X 与Y 的笛卡儿积，记作 X Y ，读为 X 叉乘Y 。其中( x y, )是 一个有序偶，x 称为( x y, )的第一个坐标， y 称为( x y, )的第二个坐 标。 X 称为 X Y 的第一个坐标集，Y 称为 X Y 的第二个坐标集。 集合 X 与自身的笛卡儿积 X X 称为 X 的 2 重（笛卡儿）积，通常 简单记作 2 X

P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.3.2一个单点集A和由最多不超过两个元素构成的 厚德博学笃志精算 一个集合B两者组成的集族{A,B}。如果满足条件：AcB, 则称为一个有序偶，并且记作(x,y),其中x为满足条件 {x}=A∩B的唯一元素，y为满足条件{x,y}=AUB的唯一 元素。 定义1.3.3设X,Y是两个集合。如果R是X与Y的笛卡儿积 X×Y的一个子集，即RcX×Y,则称R是从X到Y的一个关系。 求实务实 踏实 扎实

定义 1.3.2 一个单点集 A 和由最多不超过两个元素构成的 一个集合 B 两者组成的集族A B,  。如果满足条件： A B  ， 则称为一个有序偶，并且记作 ( x y, ) ，其中 x 为满足条件 x A B  = 的唯一元素， y 为满足条件x y A B ,  = 的唯一 元素。 定 义 1.3.3 设 X Y, 是两个集合。如果 R 是 X 与Y 的笛卡儿积 X Y 的一个子集，即 R X Y   ，则称 R 是从 X 到Y 的一个关系

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义13.4设R是从集合X到集合Y的一个关系，即 RcX×Y。如果(x,y)∈R,则我们称x与y是相关的，并且记作 xRy。如果ACX,则Y的子集{y∈Y存在x∈A使得xy} 称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集， 或者称为集合A的R象，并且记作R(A),R(X)称为关系R的值 域。 求实务实 踏实扎实

定 义 1.3.4 设 R 是 从 集合 X 到集合 Y 的 一个 关系 ，即 R X Y   。如果( x y R , ) ，则我们称 x 与 y 是相关的，并且记作 xRy 。如果 A X  ，则Y 的子集y Y x A xRy   存在 使得  称为集合 A 对于关系 R 而言的象集，或者简单地称为集合 A 的象集， 或者称为集合 A 的 R 象，并且记作 R A( ) ， R X( ) 称为关系R 的值 域

P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.3.5设R是从集合X到集合Y的一个关系，即 厚德博学笃志精算 RCX×Y。这时笛卡儿积Y×X的子集 {y,x)eY×XxRy} 是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记 作R1。如果BcY,X的子集R(B)是集合B的R象，我们也 常称它为集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象。特 别，关系R的值域R(Y)也称为关系R的定义域。 求实务实 踏实扎实

定 义 1.3.5 设 R 是 从 集合 X 到集合 Y 的 一个 关系 ，即 R X Y   。这时笛卡儿积Y X 的子集 ( y x Y X xRy , )   是从集合Y 到集合 X 的一个关系，我们称它为关系 R 的逆，并且记 作 1 R − 。如果 B Y  ，X 的子集 ( ) 1 R B − 是集合 B 的 1 R − 象，我们也 常称它为集合 B 对于关系 R 而言的原象，或者集合 B 的 R 原象。特 别，关系 1 R − 的值域 ( ) 1 R Y − 也称为关系 1 R − 的定义域

P放六学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.3.6 设R是从集合到集合Y的一个关系， 厚德博学笃志精算 即RcX×Y,S是从集合Y到集合Z的一个关系， 即ScY×Z。集合 {(x,z)∈X×Z存在y∈Y使得xR并且S} 是笛卡儿积X×Z的一个子集，即从集合X到集合Z 的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积， 记作S。R 求实务实 踏实 扎实

定义 1.3.6 设 R 是从集合到集合Y 的一个关系， 即 R X Y   ， S 是从集合Y 到集合 Z 的一个关系， 即 S Y Z   。集合 ( x z X Z y Y xRy ySz , )    存在 使得 并且  是笛卡儿积 X Z 的一个子集，即从集合 X 到集合 Z 的一个关系，此关系称为关系 R 与关系 S 的复合或积， 记作 S R

P成大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定理1.3.1设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集 合Y到集合X的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系。 则 ①D(R)=R; 2)(SR)=R1S1 3)T(SoR)=(ToS)R。 求实务实 踏实扎实

定理 1.3.1 设 R 是从集合 X 到集合 Y 的一个关系， S 是从集 合Y 到集合 X 的一个关系，T 是从集合 Z 到集合U 的一个关系。 则 （1）( ) 1 1 R R − − = ； （2）( ) 1 1 1 S R R S − − − = ； （3）T S R T S R ( ) = ( )

P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定理1.3.2设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合 Y到集合X的一个关系。则对于X的任意两个子集A,B,我们有： (1)R(AUB)=R(A)UR(B): (2)R(A∩B)CR(A)∩R(B) (3)(SR)(A)=S(R(A)。 求实务实 踏实扎实

定理 1.3.2 设 R 是从集合 X 到集合Y 的一个关系， S 是从集合 Y 到集合 X 的一个关系。则对于 X 的任意两个子集 A B, ，我们有： （1） R A B R A R B ( ) = ( ) ( )； （2） R A B R A R B ( )  ( ) ( )； （3）(S R A S R A )( ) = ( ( ))

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义13.7设X1,X2,…Xn是n≥1个集合。集合 {(x,,…x,)x∈X,2∈X2,…xn∈Xn} 称为X,X2,…X,的笛卡儿积，并且记作X1×X2×…Xn或者 X,。其中(x,为，…xn)为有次序的n元素组，x(i=1,2,…n) 称为n元素组(x,x2,…xn)的第i个坐标，X,(i=1,2,…n)称为笛 卡儿积X1×X2×…X,的第i个坐标集。 求实务实 踏实扎实

定义 1.3.7 设 1 2 , , X X X n 是n 1个集合。集合 ( x x x x X x X x X 1 2 1 1 2 2 , , , , n n n )     称 为 1 2 , , X X X n 的 笛卡儿 积，并且记 作 X X X 1 2   n 或 者 1 n i i X  = 。其中( x x x 1 2 , , n ) 为有次序的n 元素组，x i n i ( =1,2, ) 称 为 n元素组( x x x 1 2 , , n ) 的 第i 个坐标， X i n i ( =1,2, ) 称为笛 卡儿积 X X X 1 2   n 的第i 个坐标集

P放衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 小结 厚德博学笃志精算 本节引入两个集合的笛卡儿积的概念，在此基础上定义了 “关系”，进而给出了有限个集合的笛卡儿积的概念，使两个集 合的笛卡尔积的概念得到推广 这里应注意的是，如果在给定的个集合中交换了集合的次 序，一般说来得到的笛卡尔积会是完全不同的集合 求实务实 踏实扎实

本节引入两个集合的笛卡儿积的概念，在此基础上定义了 “关系”，进而给出了有限个集合的笛卡儿积的概念，使两个集 合的笛卡尔积的概念得到推广. 这里应注意的是，如果在给定的 n 个集合中交换了集合的次 序，一般说来得到的笛卡尔积会是完全不同的集合. 小结