聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 集合论初步 第五节 映射

P成衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第五节映射 厚德博学笃志精算 数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线 性代数中的线性变换概念等等都是我们所熟知的概 念.这些概念的精确意义事实上都有赖于本节中所讨 论的映射概念。 求实务实 踏实 扎实

第五节 映射 数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线 性代数中的线性变换概念等等都是我们所熟知的概 念.这些概念的精确意义事实上都有赖于本节中所讨 论的映射概念

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义1.5.1设F是从集合X到集合Y的一个关系。如果对于每 一个x∈X存在唯一的一个y∈Y使得xFy,则称F是从X到Y的 一个映射，并且记作F:X→Y。换言之，F是一个映射，如果对 于每一个x∈X: (1)存在y∈Y,使得xFy; (2) 如果对于y,y,∈Y有xy和xy2,则y=y2。 求实务实 踏实扎实

定义 1.5.1 设 F 是从集合 X 到集合Y 的一个关系。如果对于每 一个 x X  存在唯一的一个 y Y  使得 xFy ，则称 F 是从 X 到Y 的 一个映射，并且记作 F ： X Y → 。换言之，F 是一个映射，如果对 于每一个 x X  ： （1）存在 y Y  ，使得 xFy ； （2）如果对于 1 2 y y Y ,  有 1 xFy 和 2 xFy ，则 1 2 y y =

P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.2设X和Y是两个集合，F:X→Y（读做F是从X 厚德博学笃志精算 到Y的一个映射)。对于每一个x∈X,使得xEy的唯一的那个 y∈Y称为x的像或值，记作F(x);对于每一个y∈Y,如果x∈X 使得xFy,(即y是x的像)，则称x是y的一个原像。（注意：y∈Y 可以没有原像，也可以有不止一个原像。) 定理1.5.1 设X,Y和Z都是集合。如果F:X→和G:Y→2， 则G。F:X→：并且对于任何x∈X,有G。F(=F)以。 求实务实 踏实扎实

定义 1.5.2 设 X 和Y 是两个集合，F X Y : → （读做F 是从X 到 Y 的一个映射）。对于每一个 x X  ，使得 xFy 的唯一的那个 y Y  称为 x 的像或值，记作 F x( ) ；对于每一个 y Y  ，如果 x X  使得 xFy ，（即 y 是 x 的像），则称 x 是 y 的一个原像。（注意：y Y  可以没有原像，也可以有不止一个原像。） 定理 1.5.1 设 X Y, 和 Z 都是集合。如果 F X Y : → 和G Y Z : → ， 则G F X Z : → ；并且对于任何 x X  ， 有G F x G F x ( ) = ( ( ))

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定理1.5.2设X和Y是两个集合，f:X→Y。如果A,BcY, 则 (1)(AUB)=f(A)U (B): 2(0B)=()(B) (3)f(A-B)=f(A)-(B) 求实务实 踏实扎实

定理 1.5.2 设 X 和Y 是两个集合，f X Y : → 。如果 A B Y ,  ， 则 （1） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − = ； （2） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − = ； （3） ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A B f A f B − − − − = −

P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.3设X和Y是两个集合，f:X→Y。如果Y中的每 厚德博学笃志精算 一个点都有原像（即f的值域为Y,亦即f(X)=Y),则称f是一 个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的 像是Y中不同的点（即对于任何x,x2∈X,如果x≠x2,则有 f(x)≠f(x),则称∫是一个单射；如果∫既是一个单射又是一 个满射，则称∫为一个既单且又满的映射，或者一一映射。 求实务实 踏实扎实

定义 1.5.3 设 X 和Y 是两个集合， f X Y : → 。如果Y 中的每 一个点都有原像（即 f 的值域为Y ，亦即 f X Y ( ) = ），则称 f 是一 个满射，或者称 f 为一个从 X 到Y 上的映射；如果 X 中不同的点的 像 是 Y 中不同的点（即对于任何 1 2 x x X ,  ，如果 1 2 x x  ，则有 f x f x ( 1 2 )  ( )），则称 f 是一个单射；如果 f 既是一个单射又是一 个满射，则称 f 为一个既单且又满的映射，或者一一映射

P放衣学 精品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定理1.5.3设X和Y是两个集合，又设f:X→Y。如果f是 厚德博学笃志精算 一个一一 映射，则f便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写 为f1:Y→X),并且是既单且又满的。此外我们还有： f-1。f=ix和fof1=y 定理15.4设X,Y和Z都是集合，f:X→Y,g:Y→Z。如果f和g 都是单射，则g0f:X→Z也是单射；如果f和g都是满射，则g0f:X→Z 也是满射。因此，如果∫和g都是一一映射，则go∫：X→Z也是一一映射。 求实务实 踏实扎实

定理 1.5.3 设 X 和Y 是两个集合，又设 f X Y : → 。如果 f 是 一个一一映射，则 1 f − 便是一个从Y 到 X 的映射（因此我们可以写 为 1 f Y X : − → ），并且是既单且又满的。此外我们还有： 1 X f f i − = 和 1 Y f f i − = 定理 1.5.4 设 X Y, 和 Z 都是集合， f X Y : → ，g Y Z : → 。如果 f 和 g 都是单射，则 g f X Z : → 也是单射；如果 f 和 g 都是满射，则 g f X Z : → 也是满射。因此，如果 f 和 g 都是一一映射，则 g f X Z : → 也是一一映射

P放大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义1.5.4设X和Y是两个集合，A是X的一个子集。映射 f:X→Y和g:A→Y如果满足条件gcf,即对于任何a∈A有 f(a)=g(a),则称g是∫的限制，也称f是g的一个扩张，记作 g=f八4。特别地，恒同映射ix:X→X在X的子集A上的限制 ix4:A→X称为内射。这时我们有对于任何a∈A,ia(ad)=a。 求实务实 踏实扎实

定 义 1.5.4 设 X 和Y 是两个集合， A 是 X 的一个子集。映射 f X Y : → 和 g A Y : → 如果满足条件 g f  ，即对于任何a A  有 f a g a ( ) = ( ) ，则称 g 是 f 的限制，也称 f 是 g 的一个扩张，记作 A g f = 。特别地，恒同映射 : X i X X → 在 X 的子集 A 上的限制 : X A i A X → 称为内射。这时我们有对于任何a A i a a  = , X A ( )

P成名学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.5.5设X1,X2,…Xn是n≥1个集合，1≤i≤n,从笛 厚德博学笃志精算 卡儿积X=X1×X2×…X,到它的第i个坐标集X,的投射（或称第i 个投射)卫：X→X,定义为对于每一个 x=(x,x,…xn)∈X,p,(x)=x 定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系。从集合X 到它的商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为对于每一个 x∈X,p(x)=[x]R。 求实务实 踏实扎实

定 义 1.5.5 设 1 2 , , X X X n 是 n 1个集合，1 i n ，从笛 卡儿积 X X X X =   1 2 n 到它的第i 个坐标集 Xi 的投射（或称第i 个投射） : i i p X X → 定义为对于每一个 x x x x X p x x =  = ( 1 2 , , , n i i ) ( ) 。 定义 1.5.6 设 R 是集合 X 中的一个等价关系。从集合 X 到它的商集 X R/ 的自然投射 p X X R : / → 定义为对于每一个 , ( )  R x X p x x  =

P成大学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 小结 厚德博学笃志精算 本节将映射定义作为一种特别的关系，从理论上说是十 分清晰的，这使得理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任 何未经定义的对象. 求实务实 踏实 扎实

小结 本节将映射定义作为一种特别的关系，从理论上说是十 分清晰的，这使得理论系统中除了“集合”和“元 素”不再有任 何未经定义的对象