聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 集合论初步 第四节 等价关系

P议六学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志 第四节等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析 几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定 义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念在这里，我们将 通过等价关系来定义拓扑空间的商空间 求实务实 踏实扎实

第四节 等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析 几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定 义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念.在这里，我们将 通过等价关系来定义拓扑空间的商空间

P放农学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定义1.4.1设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将 简称为集合X中的一个关系集合X中的关系{(x,x)x∈X}称为 恒同关系，或恒同，对角线，记作△(X)或△ 求实务实 踏实扎实

定义 1.4.1 设 X 是一个集合.从集合 X 到集合 X 的一个关系将 简称为集合 X 中的一个关系.集 合 X 中的关系( x x x X , )   称 为 恒同关系，或恒同，对角线，记作 ( X )或 

P成名学 精品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.4.2设R是集合X中的一个关系关系R称为自反的，如 厚德博学笃志精算 果△(X)cR,即对于任何x∈X,有xR;关系R称为对称的， 如果R=R,即对于任何x,y∈X,如果xRy则yRx;关系R称 为反对称的，如果R∩R=☑，即对于任何x,y∈X,xRy和yRx 不能同时成立，；关系R称为传递的，如果R。RcR,即对于任何 x,y,z∈X,如果xRy,yRx,则有xRz. 集合X中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的，则称 为集合X中的一个等价关系. 求实务实 踏实扎实卖

定义 1.4.2 设 R 是集合 X 中的一个关系.关系 R 称为自反的，如 果   ( X R ) ，即对于任何 x X  ，有 xRx；关系 R 称为对称的， 如果 1 R R− = ，即对于任何 x y X ,  ，如果 xRy 则 yRx ；关系 R 称 为反对称的，如果 1 R R− = ，即对于任何 x y X ,  ，xRy 和 yRx 不能同时成立，；关系 R 称为传递的，如果 R R R  ，即对于任何 x y z X , ,  ，如果 xRy ， yRx ，则有 xRz. 集合 X 中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的，则称 为集合 X 中的一个等价关系

P成衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系。集合X中的两 厚德博学笃志精算 个点x,y,如果满足条件：xRy,则称x与y是等价的，或简称为 等价的；对于每一个x∈X,集合X的子集{y∈XxRy}称为x的R 等价类或等价类，常记作[x]n或[x)],并且任何一个y∈[x)]R都称为 R等价类[x]n的一个代表元素；集族[x]Rx∈X称为集合X相对 于等价关系R而言的商集，记作X/R. 求实务实 踏实扎实

定义 1.4.3 设 R 是集合 X 中的一个等价关系。集合 X 中的两 个点 x y, ，如果满足条件： xRy ，则称 x 与 y 是等价的，或简称为 等价的；对于每一个 x X  ，集合 X 的子集y X xRy  称为 x 的 R 等价类或等价类，常记作 R x 或x ，并且任何一个  R y x  都称为 R 等价类 R x 的一个代表元素；集族 x x X R   称为集合 X 相对 于等价关系 R 而言的商集，记作 X R/

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 定理1.4.1设R是非空集合X中的一个等价关系.则 (①) 如果x∈X,则x∈[x)R,因而[]R≠O; 2)对于任意x,y∈X,或者[x]n=[yR,或者[x]R∩[y]R=O, 求实务实 踏实 扎实

定理 1.4.1 设 R 是非空集合 X 中的一个等价关系.则 （1）如果 x X  ，则  R x x  ，因而 R x   ； （2）对于任意 x y X ,  ，或者    R R x y = ，或者    R R x y = 

P放水学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 厚德博学笃志精算 小结 本节主要介绍了恒同、等价关系、R等价、R等价类 等概念，并通过等价关系定义了拓扑空间的商空间 求实务实 踏实 扎实

小结 本节主要介绍了恒同、等价关系、R-等价、R-等价类 等概念，并通过等价关系定义了拓扑空间的商空间