运城学院：《复变函数论 Theory of Functions of Complex Variable》课程教学资源（讲义课件）第一章 复数与复变函数 Complex number and function of the complex variable

复变函数论

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第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 51.1复数 §1.2复数的三角表示 §1.3平面点集的一般概念 §1.4无穷大与复球面 §1.5复变函数

第一章 复数与复变函数 （Complex number and function of the complex variable） §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1. 5 复变函数

§1.1复数 (Complex number) 一、 复数的概念 二、 复数的四则运算 三、复平面

一、复数的概念 §1.1 复数 (Complex number) 二、复数的四则运算 三、复平面

复数的概念 (1)对任意两实数x、y,称=x+y为复数。 其中2=-1，或i=√-1，称为虚单位。 复数z的实部(real part).Re(z)=x;虚部 (imaginary part Im()=y. (2)当y=0时，7=x(实数)； 当x=0时，乙=y(纯虚数)； 当x=0,y=0时，z=0(实数)；

一、 复数的概念 （1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 = −1,或i = −1, i称为虚单位。 复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部 （imaginary part ）Im(z) = y . （2）当 y = 0 时， z x = （实数）； 当 x = 0 时， z iy = （纯虚数）； 当 x y = = 0 0 , 时， z = 0 （实数）；

3)设复数乙1=x1+y1,22=x2+y2 则 21=22台X1=X2,y1=y2· 注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设>0，则ii>0i,即-1<0，矛盾。 z=0→Re(z)=m(z)=0

, . 1 2 1 2 1 2 则 z = z  x = x y = y （3）设复数 , 1 1 1 z = x + iy . 2 2 2 z = x +iy 注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设 i  0 ,则 ii  0i ,即−1 0 ,矛盾。 z = 0  Re(z) = Im(z) = 0

共轭复数 复数x-y称为复数x+y的共轭复数（其中x,y 均为实数)，并记做z· 显然，=x+iy是x-yi的共轭复数，即 -同=

显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即 zzz = = ( ) . 共轭复数 复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 (其中x, y 均为实数), 并记做 z . 复数的共轭可用conj()来实现. 例如 >> syms x y real; >> z=x+y*i; >> conj(z) ans = x-i*y 共轭复数

二、复数的四则运算 设z1x+y1与2x2+y2,则 (1)z1±z2=(1士x2)+i0y1±y2) (2)z1z2=(c1+y1)c2+y2)=(化1x2yy2)+i化2y1+x'2) (3)z= = Z132- 2+y2+i2y-2 (乙2≠0) Z2 乙2Z2 1z212 13212

设 z1 =x1+iy1与z2 =x2+iy2，则 （1）z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) （2）z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1 y2 )+i(x2 y1+x1 y2 ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 0 | | | | z z z x x y y x y x y z i z z z z z z + − = = = +  二、复数的四则运算

例1 设z1=2+5i,22=3+2i, 求 1的实部，虚部. 22 16 解 2+5i 16+11i 11 十 22 3+2i 13 13 13 所以Re1=16 Im 1 11 22 13 22 13

, . 1 2 5 , 3 2 , 2 1 1 2 求 的实部 虚部 例 设 z z z = + i z = + i , 1 3 1 1 1 3 1 6 1 3 1 6 1 1 3 2 2 5 2 1 i i i i z z = + + = + + 解 = . 1 3 1 1 , Im 1 3 1 6 Re 2 1 2 1 = = z z z z 所 以

例2 将下列复数表示为x+y的形式 o0:a 1-i 解 (1-)2 1-i=-i, 1+i(1+i)1-i) 2 （=-n=i a+-=12 (1-)i 1+i (-1-2)1-) 3_1 2 22

9 例 2 将下列复数表示为 x +iy的形式. 1 1 ; (2) 11 (1) 7 i i i i ii − + −   +− 解 ii +− 11 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 i i i + − − = 2 ( 1 ) 2 − i = = − i , 7 7 ( ) 11 i ii = −   +− = i . i i i i − + − 1 1 ( 2 ) i i i i ( 1 ) ( 1 ) 2 2 − + − = i i + − − = 11 2 2 ( − 1 − 2 i)( 1 − i ) = . 21 23 = − − i

复数的运算满足如下交换律、结合律、 分配律。 (1)乙1+乙2=z2+31 Z1Z2=Z231) (2)(亿1+2)+3=1+(z2+3)1(亿23)=(z1z2)z3； (3)z1（z2+3)=z1z2+1339 全体复数并引进上述运算后称为复数域， 用C表示。 在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如 a-b2=(a+b)(a-b),a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 仍成立

复数的运算满足如下交换律、结合律、 分配律。 全体复数并引进上述运算后称为复数域， 用C表示。 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 (1) ; (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ; (3) ( ) ; z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z + = + = + + = + + = + = + 在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如 2 2 3 3 2 2 a b a b a b a b a b a ab b − = + − − = − + + ( )( ), ( )( ) 仍成立