运城学院：《复变函数论 Theory of Functions of Complex Variable》课程教学资源（PPT讲稿）多连通区域上复边界元及其应用

中国力学大会2017暨庆祝中国力学学会成立60周年大会 多连通区域上复边界元及其应 用 刘俊俏 运城学院应用数学系 2022年11月23日

中国力学大会2017暨庆祝中国力学学会成立60周年大会 多连通区域上复边界元及其应 用 刘俊俏 运城学院应用数学系 2022年11月23日

主要内容 I.引言 1.柯西型积分 Ⅲ.复数边界元方法 V.多连通区域复数边界元方法 2022-11-23 2/24

2022-11-23 2/24 主要内容 II. IV. I. III

1、引言 复变函数的实部和虚部都是二元实函数，解析 函数是复变函数研究的最主要的一类函数，用复 变函数方法研究工程中的一些计算问题是一个非 常重要的研究课题。早期一些数学力学者们，用 复变函数方法解答了平面弹性力学的一些问题， 利用解析函数边值问题通过解答奇异积分方程解 决了很多断裂力学裂纹问题。 边界元方法采用边界上的积分值求结点未知 量的值，进一步可以将域内点的值用边界结点值 表示和计算。 复变函数在曲线上的积分与解析函数在域内的 函数值关系密切，尤其是多场耦合时，可以考虑 复变函数的实和虚部的边界积分方法。 2022-11-23 3/24

2022-11-23 3/24 复变函数的实部和虚部都是二元实函数，解析 函数是复变函数研究的最主要的一类函数，用复 变函数方法研究工程中的一些计算问题是一个非 常重要的研究课题。早期一些数学力学者们，用 复变函数方法解答了平面弹性力学的一些问题， 利用解析函数边值问题通过解答奇异积分方程解 决了很多断裂力学裂纹问题。 边界元方法采用边界上的积分值求结点未知 量的值，进一步可以将域内点的值用边界结点值 表示和计算。 复变函数在曲线上的积分与解析函数在域内的 函数值关系密切，尤其是多场耦合时，可以考虑 复变函数的实部和虚部的边界积分方法

2、柯西型积分 解析函数是复变函数的一个主要研究内容，解析 函数的实部和虚部都是调和函数，满足拉普拉斯方 程，很多数学物理方程中都会涉及到拉普拉斯算子， 因此考虑用解析函数边值问题，构造解析函数，利 用柯西积分公式、柯西型积分方法研究边界积分和 内部各点未知函数值的关系的近似数值方法，就构 成了复数边界元方法。 2022-11-23 4/24

2022-11-23 4/24 2、柯西型积分 解析函数是复变函数的一个主要研究内容，解析 函数的实部和虚部都是调和函数，满足拉普拉斯方 程，很多数学物理方程中都会涉及到拉普拉斯算子， 因此考虑用解析函数边值问题，构造解析函数，利 用柯西积分公式、柯西型积分方法研究边界积分和 内部各点未知函数值的关系的近似数值方法，就构 成了复数边界元方法

2、柯西型积分 柯西积分定理 在单连通区域D内，函数f(z)是解析的，其中C为D内任一条周线，则有： f()dz=0 这个公式可以推广到多连通区域上。 考虑n+1条周线C。,C,,Cn,其中的C1,C2,,Cn中每一条都在 其余各条的外部，而它们又全都在C。的内部.设D是由复周线 C=C。+G+C2+,+Cn所围成的有界n+1连通区域，且函数f(z)在D内解 析，在D=D+C上连续，则有： 2022-11-23 5/24

2022-11-23 5/24 2、柯西型积分 柯西积分定理 这个公式可以推广到多连通区域上

2、柯西型积分 [ef(z)dz+Jf(z)dz+..+.f(z)dz=0 或写成： [f(zkiz=f(z)dz+..f(z)dz 柯西积分公式 设区域D的边界周线（或复周线）C,函数f(z)在D内解析，在D=D+C上 连续，则有： a (z∈D) 2022-11-23 6/24

2022-11-23 6/24 柯西积分公式 2、柯西型积分

2、柯西型积分 (1)f(z)在复平面单连通区域D内解析，C为D内的任一简单闭曲线，则有 f(z),z在C内部 0,z在C外部 (2)推广到无界域：如果函数f(z)在简单闭曲线C的外部区域D内及C上解析， 并且limf(z)=A,则有： ,ZED 2022-11-23 7/24

2022-11-23 7/24 2、柯西型积分

2、柯西型积分 (3)高阶导数公式 el2ze.al2… (用解析函数的边界值表示其各阶导数内部值得积分公式.) 2022-11-23 8/24

2022-11-23 8/24 2、柯西型积分

2、柯西型积分 柯西型积分 f(z)是定义在「上的连续函数， 则F()=人（定义了一个分区全纯函数. 这里的被积函数f(z)在区域内的表达式未知 F(z)一般不同于f(z) 2022-11-23 9/24

2022-11-23 9/24 柯西型积分 这里的被积函数 f (z) 在区域内的表达式未知 F(z) 一般不同于 f (z) 2、柯西型积分

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 解析，则 u(x,y),v(x,y) 都是调和函数，满足拉普拉斯方程 解析函数的导数仍然是解析函数 f(z)=u,(x,y)+iv,(x,y) =v,(x,y)-iu,(x,y) 2022-11-23 10/24

2022-11-23 10/24 f (z)  u(x, y)  iv(x, y) 解析，则 u(x, y),v(x, y) 都是调和函数，满足拉普拉斯方程 解析函数的导数仍然是解析函数 ( , ) ( , ) '( ) ( , ) ( , ) v x y iu x y f z u x y iv x y y y x x    