聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）拓扑学引言（导论）

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1 点 集 拓 扑 学 山东省精品课程 (XYZ) (XYZ) (XYZ) ➢聊城大学数学科学学院 2008

拓扑学导论 •拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支 。研究对象：一般的几何图形（拓扑空间） ·中心任务：研究几何图形的一类性质即所 谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏 几何中研究的长度、角度、面积等不同。 2

2 拓 扑 学 导 论 ●拓扑学是几何学的分支，且是与欧氏几何 不同的几何学分支 ●研究对象：一般的几何图形（拓扑空间） ●中心任务：研究几何图形的一类性质即所 谓的拓扑性质，但这类性质与我们在欧氏 几何中研究的长度、角度、面积等不同

平面欧氏几何的研究对象与内容 ●研究对象：直线和圆构成的图形 ●研究内容：长度、角度、面积、全等： 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 ●结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量。 3

3 平面欧氏几何的研究对象与内容 ●研究对象：直线和圆构成的图形 ●研究内容：长度、角度、面积、全等； 两图形全等即经过平移、旋转、对称两 图形重合；而长度、角度、面积经过上 述正交变换保持不变。 ●结论：欧氏几何研究图形在正交变换 下的不变性和不变量

与石扑性质相关的几个例子 >一笔画问题 >哥尼斯堡七桥问题 >四色问题 4

4 与拓扑性质相关的几个例子 ➢一笔画问题 ➢哥尼斯堡七桥问题 ➢四色问题

一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图 形能不能一笔画成，使得在每条线 段上不重复？ 例如：日，中可以一笔画出 田，目不能一笔画出 5

5 一笔画问题 平面上由曲线段构成的一个图 形能不能一笔画成，使得在每条线 段上不重复？ 例如：日 ，中 可以一笔画出 田 ，目 不能一笔画出

日字的变形 田字的变形 6

6 日 字的变形 田 字的变形

欧拉的结论 欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现， 凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个 特点：每当你用笔画一条线进入中间的 个点时，你还必须画一条线离开这个点。 否则，整个图形就不可能用一笔画出。也 就是说，单独考察图中的任何一个点（除 起点和终点外)，它都应该与偶数条线相 连；如果起点与终点重合，那么，连这个 点也应该与偶数条线相连

7 欧拉的结论 欧拉考察了一笔画图形的结构特征。发现， 凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个 特点：每当你用笔画一条线进入中间的一 个点时，你还必须画一条线离开这个点。 否则，整个图形就不可能用一笔画出。也 就是说，单独考察图中的任何一个点（除 起点和终点外），它都应该与偶数条线相 连；如果起点与终点重合，那么，连这个 点也应该与偶数条线相连

一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准 确方位、面积、体积无关。重要的是 图形中点线之间的相关位置，或相互 连结的情况不能变。 8

8 一笔画问题的特点 该问题与线段的长短曲直、交点的准 确方位、面积、体积无关。重要的是 图形中点线之间的相关位置，或相互 连结的情况不能变

哥尼斯堡七桥问题 到得秀晶系婆罗德鑫鲜金克着资蚊人爽 海。河心有一个小岛。河水把城市分成了4块，于是，人 们建造了7座各具特色的桥，艳哥尼斯堡连成一体。 天又一天，7座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问 题在居苠中传开了：，谁能够二次走遍所有的7座桥，而且 每座标都只通过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的 幫大兰致鬓谁出遥有投 可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称 筹莫展。七桥问题"难往了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名。 9

9 哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡是位于波罗的海东岸一座古老而美丽的城市，布 勒格尔河的两条支流在这里汇合，然后横贯全城，流入大 海。河心有一个小岛。河水把城市分成了４块，于是，人 们建造了７座各具特色的桥，把哥尼斯堡连成一体。 一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什 么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问 题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且 每座桥都只通过一次？ 这个问题似乎不难，谁都乐意用它来测试一下自己的 智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。以博学著称 的大学教授们，也感到一筹莫展。"七桥问题"难住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因"七桥问题"而出了名

C 三非安三 B B 七桥问题 10

10 七 桥 问 题