聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 可数性公理 §5.3 Lindelöff 空间

§5.3 Lindel6ff空间 定义5.3.1设A是一个集族，B 是一个集合.如果UA一B,则称集 A∈A 族是集合B的一个覆盖，并且当A是 可数族或有限族时，分别称集族是 集合B的一个可数覆盖或有限覆盖

§5.3 Lindelöff 空间 定义5.3.1 设A 是一个集族，B 是一个集合．如果 , 则称集 族是集合B的一个覆盖，并且当A是 可数族或有限族时，分别称集族是 集合B的—个可数覆盖或有限覆盖． A A B   A

设集族A是集合B的一个覆 盖.如果集族A的一个子族A也 是集合B的覆盖，则称集族A1是 覆盖A(关于集合B)的一个子覆盖

设集族 A 是集合B的一个覆 盖．如果集族 A 的一个子族A1也 是集合B的覆盖，则称集族 A1 是 覆盖A (关于集合B)的一个子覆盖

设X是一个拓扑空间.如果由 X中开（闭）子集构成的集族A是 X的子集B的一个覆盖，则称集族 A是集合B的一个开（闭）覆盖

设X是一个拓扑空间．如果由 X中开(闭)子集构成的集族 A 是 X的子集B的一个覆盖，则称集族 A 是集合B的一个开(闭)覆盖．

定义5.3.2 设X是一个拓扑空 间.如果X的每一个开覆盖都有 一个可数子覆盖，则称拓扑空间 X是一个Lindeloff空间

定义5.3.2 设X是一个拓扑空 间．如果 X 的每一个开覆盖都有 一个可数子覆盖，则称拓扑空间 X是一个Lindelöff空间．

定理5.3.1任何一个满足第 二 可数性公理的空间都是Lindelδff 空间. 继续

定理5.3.1 任何一个满足第二 可数性公理的空间都是 Lindelöff 空间． 继续

证明设拓扑空间X满足第二可数性公理，易是它的-个可 数基 设是X的-个开覆盖，对于每-个A长，由于A是- 开集，所以存在，C3使得A=,B.令品=U.由于 易，是觅的个子族，所以是-个可数族并且

B B B∈U AE U(UB> UA=X 这就是说，也是X的-个覆盖如果3E易，则存在A长楨 得BE,因此BCA.于是对于每-个BE易我们可以选定某

-个AE使得BCAg.记=AgBE,它是的-个子 族，并且 UA-UADUB-X 所以，是的一个子覆盖此外由于男，是可数的，所以成也是 可数的于是开覆盖有-个可数子覆盖必，这证明X是一个 Lindeloff空间

推论5.3.2满足第二可数性 公理的空间的每一个子空间都是 Lindeloff空间. 特别，n欧氏空间n的每 一个子空间都是Lindeloff空间. 定理5.3.1和推论5.3.2的逆 命题不成立.（见例5.3.1）

推论5.3.2 满足第二可数性 公理的空间的每一个子空间都是 Lindelöff空间． 特别，n欧氏空间Rn的每 一个子空间都是Lindelöff空间． 定理5.3.1和推论5.3.2的逆 命题不成立.(见例5.3.1)

定理5.3.3每一个Lindel6ff 的度量空间都满足第二可数性公 理. 继续

定理5.3.3 每一个Lindelöff 的度量空间都满足第二可数性公 理. 继续