聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 完备度量空间 第一节 度量空间的完备化

P泽 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第八章完备度量空间 厚德博学笃志精算 理解完备度量空间的概念，掌握度量空间中的紧性，理解 紧收敛与点收敛的概念。 重点：序列与极限 难点：收敛类范畴 求实务实 踏实扎实

第八章 完备度量空间 理解完备度量空间的概念，掌握度量空间中的紧性，理解 紧收敛与点收敛的概念. 重点： 序列与极限 难点： 收敛类范畴

印放六学 精品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第一节度量空间的完备化 厚德博学笃志精算 度量空间的完备性是用关于度量空间中点的序列的收敛的语言 来刻画的.由于度量空间本身便是拓扑空间，所以其中的点的序列收 敛按拓扑的方式已经定义（参见定义2.7.2），并且可以通过度量的 语言予以描述（参见定理2.7.4），现在通过以下定义在度量空间中 挑选出一类特殊的序列 求实务实 踏实扎实

度量空间的完备性是用关于度量空间中点的序列的收敛的语言 来刻画的.由于度量空间本身便是拓扑空间,所以其中的点的序列收 敛按拓扑的方式已经定义（参见定义 2.7.2）,并且可以通过度量的 语言予以描述（参见定理 2.7.4）.现在通过以下定义在度量空间中 挑选出一类特殊的序列. 第一节 度量空间的完备化

P议衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义8.1.1设（X,p)是一个度量空间.X中的一个序列 厚德博学笃志精算 {x,z,如果对于任意给定的实数ε>0，存在整数N>0,使得当 i,j>N时有p(x,x,)<c,则称序列{x}2是一个Cauchy序列. 如果X中的每一个Cauchy序列都收敛，则称度量空间(X,p)是 一个完备度量空间. 易见度量空间中每一个收敛序列都是Cauchy序列，但反之不然 求实务实 踏实扎实

定 义 8.1.1 设 ( X, ) 是一个度量 空间. X 中的一个序 列  i i x + ,如果对于任意给定的实数  0，存在整数 N  0，使得当 i j N ,  时有   ( x x i j , )  ,则称序列 i i x + 是一个 Cauchy 序列. 如果 X 中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间( X, ) 是 一个完备度量空间. 易见度量空间中每一个收敛序列都是 Cauchy 序列,但反之不然

P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 例8.1.1实数空间R是一个完备度量空间. 厚德博学笃志 定理8.1.1完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备 度量空间。 引理8.1.2设(X,p)是一个度量空间，YcX.如果Y中每一 个Cauchy序列都在X中收敛，则Y的闭包Y中的每一个Cauchy序列 精算 也都在X中收敛 推论8.1.3设(X,p)是一个度量空间，Y是X的一个稠密子集， 如果Y中的每一个Cauchy序列都在X中收敛，则X是一个完备度量 空间 求实务实 ·踏实扎实卖

例 8.1.1 实数空间 R 是一个完备度量空间. 定理 8.1.1 完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备 度量空间. 引 理 8.1.2 设( X, ) 是一个度量空间,Y X  .如 果Y 中每一 个 Cauchy序列都在 X 中收敛,则Y 的闭包Y 中的每一个Cauchy序 列 也都在 X 中收敛. 推论8.1.3设( X, ) 是一个度量空间,Y 是 X 的一个稠密子集. 如果Y 中的每一个 Cauchy 序列都在 X 中收敛,则 X 是一个完备度量 空间

P成衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定理8.1.4n维欧式空间R"和Hi1bert空间H都是完备度量空 厚德博学笃志 间. 定义8.1.2设(X,p)和(Y,d)是两个度量空间，f:X→Y. 精算 如果对于任意x,y∈X有d(f(x),f(y)=p(x,y),则称映射f 是一个保距映射，如果存在一个从X到Y的满的保距映射，则称度量 空间(X,p)与度量空间(Y,d)同距 求实务实 踏实扎实

定理8.1.4 n维欧式空间 n R 和Hilbert空间 都是完备度量空 间. 定 义 8.1.2 设( X, ) 和 (Y d, ) 是两个度量空间, f X Y : → . 如果对于任意 x y X ,  有 d f x f y x y ( ( ), , ( )) =  ( ) ,则称映射 f 是一个保距映射,如果存在一个从 X 到Y 的满的保距映射,则称度量 空间( X, ) 与度量空间(Y d, ) 同 距

P放衣罗 精品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义8.1.3设X是一个度量空间，X*是一个完备度量空间.如 厚德博学笃志精算 果X与X的一个稠密的度量子空间同距，则称完备度量空间X是 度量空间X的一个完备化 定理8.1.5每一个度量空间都有完备化 定理8.1.6每一个度量空间的任意两个完备化同距 推论8.1.7完备度量空间的任何一个完备化都与这个完备度量 空间本身同距。 求实务实 踏实扎实

定义8.1.3 设 X 是一个度量空间, * X 是一个完备度量空间.如 果 X 与 * X 的一个稠密的度量子空间同距,则称完备度量空间 * X 是 度量空间 X 的一个完备化. 定理 8.1.5 每一个度量空间都有完备化. 定理 8.1.6 每一个度量空间的任意两个完备化同距. 推论 8.1.7 完备度量空间的任何一个完备化都与这个完备度量 空间本身同距