聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 完备度量空间 第二节 度量空间的完备性与紧致性,Baire 定理

P放六学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 第二节度量空间的完备性与紧致性， 厚德博学笃志精算 Baire定理 在这一节的前半部分我们讨论度量空间的完备性与紧致性的关 系，后半部分则给出Baire定理， 定义8.2.1设(X,p)是一个度量空间，6>0是一个实数.X的有限 子集A称为一个8-网，如果对于任何x∈X有p(x,A)0，X有一个8-网，则称度量空间(X,P)是完全有界的， 求实务实 ·踏实扎实

在这一节的前半部分我们讨论度量空间的完备性与紧致性的关 系,后半部分则给出 Baire 定理. 第二节 度量空间的完备性与紧致性, Baire 定理 定义 8.2.1 设( X, ) 是一个度量空间,  0 是一个实数. X 的有限 子集 A 称为一个 −网,如果对于任何 x X  有   ( x A, )  ,如果对于 任何实数  0, X 有一个 −网,则称度量空间( X, ) 是完全有界的

P成术学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 一个度量空间是完全有界明显地蕴涵着它是有界的.反之不 厚德博学笃志精算 然，例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全 有界的。 定理8.2.1设(X,p)是一个度量空间.则(X,p)是紧致的当且 仅当(X,P)是一个完全有界的完备度量空间， 求实务实 踏实扎实

一个度量空间是完全有界明显地蕴涵着它是有界的.反之不 然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全 有界的. 定理 8.2.1 设( X, ) 是一个度量空间.则( X, ) 是紧致的当且 仅当( X, ) 是一个完全有界的完备度量空间

P放衣罗 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定理8.2.2设(X,p)是一个完备度量空间.如果由X的子集 厚德博学笃志精算 构成的一个序列{E,E2,}满足条件E,一E2一…和 limdiam(E,)=0,其中diam(E,)表示E,的直径，则∩e:E,是一 个单点集 定理8.2.3(Baire定理)设X是一个完备的度量空间.如果 G,G2,…是X中的可数个稠密的开集，则交集∩ezG,是X中的 一个稠密子集。 求实务实 踏实扎实

定理 8.2.2 设( X, ) 是一个完备度量空间.如果由 X 的子集 构 成 的 一 个 序 列 E E1 2 , ,  满 足 条 件 E E 1 2   和 lim 0 ( i ) i diam E → = ,其 中 diam E( i ) 表 示 Ei 的直径,则 i z i E −  是 一 个单点集. 定 理 8.2.3 (Baire定理) 设 X 是一个完备的度量空间.如 果 G G 1 2 ， ， 是 X 中 的可数个稠密的 开集,则交集 i Z i G  + 是 X 中 的 一个稠密子集

P成衣学 情品课程 LIAOCHENG UNIVERSITY 定义8.2.2设X是一个拓扑空间.如果X的子集A的闭包的内 厚德博学笃志精算 部是空集，即A。=⑦，则称A为X的一个无处稠密子集.X的子 集F如果可以表示为X中可数个无限稠密的子集之并，则称F为第 一范畴集；X的子集，如果不是第一范畴集，则称为第二范筹集 定理8.2.4(Baire定理)完备度量空间中的任何一个非空开集 都是第二范畴集， 求实务实 踏实扎实

定义 8.2.2 设 X 是一个拓扑空间.如果 X 的子集 A 的闭包的内 部是空集,即 O A − =  ,则 称 A 为 X 的一个无处稠密子集. X 的 子 集 F 如果可以表示为 X 中可数个无限稠密的子集之并,则 称 F 为第 一范畴集； X 的子集,如果不是第一范畴集,则称为第二范筹集. 定理 8.2.4（Baire 定理） 完备度量空间中的任何一个非空开集 都是第二范畴集