聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 分离性公理 §6.6 可度量化空间

§6.6可度量化空间 知识复习： 二、Hilbert空间H 可度量化空间 三、关于基的一个定理 继续

§ 6.6 可度量化空间 知识复习： 一、Hilbert空间H 二、可度量化空间 三、关于基的一个定理 继续

记H为平方收敛的所有实数序列构 成的集合，即 ● H={x=(x,x2,…川x,∈R,ieZ*;∑x2<oo} 1

记H为平方收敛的所有实数序列构 成的集合，即 2 1 2 1 { ( , , ) | , ; } i i i H x x x x R i Z x  + = = =     

定义223设X,)是-个扬外空间加果存在X的一个 度量货得补是腹量0桥导科未的栖分，周X, 一个阿度化空铜

定避161爱是招松配，骨-开集装弹0 民孙控朗的-个的于个和 醇划社骏得U

定鲤661Uhi 人理 年一个清服第二可麦楼 会理的1，空门胡于知室阳的味个子间 证期设X是-个满足第可数住公理的工，空间权提完 理531皖理64,3，可现X是-个正空

设是I的不含空集作为它的元素的一个可数基务补空 间的任何-个基知果以空集龙的一个元素，把空集去掉后烈利下 的部分还提一个基这时描卡儿积X9是可数的令 (U,V)E9X UCV

它是笛卡儿积男X男的子集，所以是可数的.因此可将中的元素 无遗漏地排威序列： (U,U,2),…,U, (档是一个有限集时，可无限重复它的任何~个元素).我们重 申，对于海-个长2，有UCV

对于每-个i长，油于X是-个任规空间根据如 腥我们门阿以选项-个生续映射→0」使得对 U有0和对于的，X-V有

定义映射f:X→使得对于每一个x∈X, f-a,..… 由于对于每-个长3+，0区f(o)1.所以 e)f<o

(1)f是-个单射 设x,yX,x≠y.由于X是一个T,空间，因此存在VE 使得xEV和yV:由于X是-个正规空间，故x有-个开邻 域M使得MCV;由于男是X的一个基，所以存在UE使得x UCM,因此CV,根据以上所作阿见(U,V)∈风，从而不妨 设(U,=(U,V).于是根据映射发的定义可见f(x)=0和 =1,这显然推得fx)≠f(y）.所以f是一个单射