聊城大学：《拓扑学 Topology》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 分离性公理 §6.1 T0 ,T1,Hausdorff空间

第大章分离性公理 §6.1To,Ti,Hausdorff?间 §6.4完全正则空间，T空间 §6.2正则，正规，T3,T4空间 §6.5分离性公理与子空间 §6.3引理和T-扩张定理 §6.6可度量化空间

§6.1 T0 ,T1 ,Hausdorff空间 §6.2 正则,正规,T3 ,T4空间 §6.3 U-引理和T-扩张定理 §6.4 完全正则空间,T-空间 §6.5 分离性公理与子空间 §6.6 可度量化空间

§6.1To,T,Hausdorff:空间 定义6.1.1X是一个拓扑 空间，如果对于X中任意两个不 同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另一点，则称拓扑空 间X是一个To空间

§6.1 T0 ,T1 ,Hausdorff空间 定义 6.1.1 X 是一个拓扑 空间, 如果对于X中任意两个不 同的点中必有一个点有一个开 邻域不包含另 一点,则称拓扑空 间X 是一个T0空间

U 文 y 少廷乙I To 空 间

U x y V T0 空 间 y U

定理6.1.1拓扑空间X 是一个T,空间当且仅当X中 任意两个不同的单点集有不 同的闭包 即若≠y,则 x≠y

定理6.1.1 拓扑空间X 是一个T0空间当且仅当X中 任意两个不同的单点集有不 同的闭包. 即若x≠y,则 { } { } x y 

证明：充分性「 因为对于任意的 x,y∈X,有 x≠y网 从而必有： {x}-{y≠ or {y-{x}≠p 若 {x}-{y以≠中， 必有x{以 ,故 x∈x-；同理可证当-女 时，y∈X-{x,因此X是一个T空间

证明：充分性 因为对于任意的 x,y∈X，有 ，从而必有: or . 若 ，必有 ,故 ；同理可证当 时， ,因此X是一个T0空间. { } { } x y  { } { } x y −   { } { } y x −   { } { } x y −   x y { } x X y  −{ } { } { } y x −   y X x  −{ }

必要性设X是一个T,空间，则对 任意X,y∈X≠y,则或者有x的开邻域 U使得yU,或者有y的开邻域V,使 得x先V ,对于前一种情形，由于 U个y三中，从而xy 于是x≠y;同理若是后一种情形， 也有 {x}夫{y

必要性 设X是一个T0空间，则对 任意x,y∈X,x≠y,则或者有x的开邻域 U使得 ,或者有y的开邻域V,使 得 ,对于前一种情形,由于 , 从而 , 于是 ;同理若是后一种情形， 也有 . y U x V U y  = { }  x y { } { } { } x y  { } { } x y 

定义6.1.2 X是一个拓扑空间 若X中任意两个不相同的点都有一 个开邻域不包含另一点，则称拓 扑空间X是一个T空间

定义6.1.2 X 是一个拓扑空间, 若X中任意两个不相同的点都有一 个开邻域不包含另一点，则称拓 扑空间X是一个T1空间

x主Vy主UU T1空间

U x y V x V y U T1 空 间

注：T,空间当然是T空间 T。空间不是T空间的例子 例：X=0,1) T={D,X,{O}

T0空间不是T1空间的例子 注：T1空间当然是T0空间 例： , T = X ={0,1} { , ,{0}}  X

定理6.1.2 设X是一个拓扑空 间，则下列条件等价： (1)X是一个T空间： (2)X中每一个单点集都是闭集； (3)X中每一个有限子集都是闭集 Next th

定理6.1.2 设X是一个拓扑空 间，则下列条件等价： （1）X是一个T1空间； （2）X中每一个单点集都是闭集; （3）X中每一个有限子集都是闭集. Next th