南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理分形物理1/5（负责人：刘俊明）

非线性物理：分形物理 特征尺度问题： 物理学家关注自然现象中的特征尺度，然后寻找数学描述方法！ 关注有序无序！ 自然界的构造动力模式：规则和完全随机之间的！ 规则构成导致所谓周期排列或者准周期排列，例如晶体、社会组 织、军队方阵等等，都有特征尺度。从形成动力学看，是近平衡 生长或者组织形成的。 自然界随机过程和现象更加广泛：没有特征尺度！

非线性物理：分形物理 特征尺度问题： • 物理学家关注自然现象中的特征尺度，然后寻找数学描述方法！ 关注有序无序！ • 自然界的构造动力模式：规则和完全随机之间的！ • 规则构成导致所谓周期排列或者准周期排列，例如晶体、社会组 织、军队方阵等等，都有特征尺度。从形成动力学看，是近平衡 生长或者组织形成的。 • 自然界随机过程和现象更加广泛：没有特征尺度！

非线性物理：分形物理

非线性物理：分形物理

非线性物理：分形物理

非线性物理：分形物理

非线性物理：分形物理 (0,0.16yn 0.00<r<0.01 0.2xn-0.26yn,0.23xn+0.22yn+0.2), 0.01<r<0.08 (x+yn+1)= -0.15xn+0.28yn,0.26xn+0.24yn+0.2,0.08<r<0.15 0.85xn+0.04yn,-0.04xn+0.85yn+0.2,0.15<r<1.00

非线性物理：分形物理                      (0.85x 0.04y ,-0.04x 0.85y 0.2), 0.15 r 1.00 (-0.15x 0.28y ,0.26x 0.24y 0.2), 0.08 r 0.15 (0.2x -0.26y ,0.23x 0.22y 0.2), 0.01 r 0.08 (0,0.16 y ), 0.00 r 0.01 ( x , y ) n n n n n n n n n n n n n n 1 n 1

非线性物理：分形物理 分形维： 这类没有特征尺度的物体成为分形体。既然没有特征尺度，如何 去描述它的几何特征？以Koch曲线为例： ·对单位长度线段，无论用何种尺度δ去测量，其长度L均为1： L=60=1

非线性物理：分形物理 分形维： • 这类没有特征尺度的物体成为分形体。既然没有特征尺度，如何 去描述它的几何特征？以Koch曲线为例： • 对单位长度线段，无论用何种尺度  去测量，其长度 L 均为1： L 1 0   

非线性物理：分形物理 用6=13尺度测量，小于6的弯曲部分被遗弃，L(6=1/3)=4/3; 依此类推： -(g引 -N.8 根据维度定义，应该有：L=6=N6,这里是余数维。因此， (4/3)"=(1/3)"u=N6,所以有：μE=1-ln4n3=-0.2618,定义=1-D月 ,有Dn4/n3=1.2618,称为Hausdorff分形维。 N=δ-DH Da=lnN/lnδ-)

非线性物理：分形物理 • 用  =1/3 尺度测量，小于  的弯曲部分被遗弃，L( =1/3)=4/3； 依此类推： • 根据维度定义，应该有：L=   =N ，这里是余数维。因此， (4/3)n=(1/3)n =N ，所以有： =1-ln4/ln3=-0.2618，定义=1-DH ，有DH=ln4/ln3=1.2618，称为Hausdorff分形维。            N 34 31 L n n D ln N /(ln ) N 1 H DH      

非线性物理：分形物理 ·对一个正方体：N~62,所以D=2.0。对于一个立方体：N~63, 所以DH3.0。 ·如图所示的Sierpinski?三角形，映射到 第n步，δ=(1/2)=2"，而相应的面积 单元数目N=3"。所以，维度DH为： N~δDH三3n~2mDH→nln3=nDu In2 Du In3/In 2

非线性物理：分形物理 • 对一个正方体：N~ 2，所以DH=2.0。对于一个立方体： N~ 3， 所以DH=3.0。 • 如图所示的Sierpinski三角形，映射到 第n步， =(1/2)n=2-n，而相应的面积 单元数目N=3n。所以，维度DH为： D ln 3 / ln 2 N ~ 3 ~ 2 nln 3 nD ln 2 H H DH n n DH       

非线性物理：分形物理 Sierpinski地毯，映射到第n步，6=(1/3)=3-"，而相应的面积单元 数目N=8"。所以，这个图形的维度为D=log81og3=1.8928。 After 3 iterations Axiom Gene rator

非线性物理：分形物理 • Sierpinski地毯，映射到第n步， =(1/3)n=3-n，而相应的面积单元 数目N=8n。所以，这个图形的维度为DH=log8/log3=1.8928

非线性物理：分形物理 天线发射

非线性物理：分形物理 天线发射

非线性物理：分形物理 Axiom Generator Sierpinski gasket: D=l0g5/1og2=2.3219

非线性物理：分形物理 Sierpinski gasket: D=log5/log2=2.3219