南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理孤波物理1/2

非线性物理：孤波物理 物理学中的孤子： 孤波是物理世界中混沌的对立面，驱动与耗散竞争产生混沌，也 可以产生孤波。 ·已经有相当数量的非线性微分方程存在孤子解。与此同时，也在 若干物理现象中发现了孤波行为。 F.Calogero和A.Degasperisi在“Spectral Transform and Solitons'” (1982)一书中给出了四十多个具有孤波严格解的微分方程。 ·此处列出几个物理中的孤波效应

非线性物理：孤波物理 物理学中的孤子： • 孤波是物理世界中混沌的对立面，驱动与耗散竞争产生混沌，也 可以产生孤波。 • 已经有相当数量的非线性微分方程存在孤子解。与此同时，也在 若干物理现象中发现了孤波行为。 • F. Calogero和A. Degasperis在“Spectral Transform and Solitons” (1982)一书中给出了四十多个具有孤波严格解的微分方程。 • 此处列出几个物理中的孤波效应

非线性物理：孤波物理 time=2 tIme=0 time=4 time=4

非线性物理：孤波物理

非线性物理：孤波物理 ()KV方程：描述弱非线性与弱色散现象，如浅水波、固体中 热脉冲、纵向弹性色散波的传播、等离子体的离子声波等等： 4,±6ux+4ar=0 ·(2)非线性薛定谔NLS方程：描述弱非线性与强色散现象，如单模 光纤中的光孤子、一维海森堡磁体、电介质中强激光的自聚焦、 流体力学中的涡旋： i4,+ux±2uu=0

非线性物理：孤波物理 • (1) KdV方程：描述弱非线性与弱色散现象，如浅水波、固体中 热脉冲、纵向弹性色散波的传播、等离子体的离子-声波等等： • (2) 非线性薛定谔NLS方程：描述弱非线性与强色散现象，如单模 光纤中的光孤子、一维海森堡磁体、电介质中强激光的自聚焦、 流体力学中的涡旋：

非线性物理：孤波物理 3)sine-Gordon(SG)方程：描述如电荷密度波、自旋密度波、约 瑟夫逊结中的磁通量子、超离子导体、位错传播、铁磁体Bloch 畴壁、自旋传播等现象： ur±sinW=O,u≡u(5,t》 un-uxx+sinu =0,u=ulx,t) (4)p4方程：描述一维晶体的位移相变，是场论模型方程，因为 哈密顿K含有p4而得名。 Puxx+=0 k-3(gi+0i)-3o+io

非线性物理：孤波物理 • (3) sine-Gordon (SG)方程：描述如电荷密度波、自旋密度波、约 瑟夫逊结中的磁通量子、超离子导体、位错传播、铁磁体Bloch 畴壁、自旋传播等现象： • (4)  4 方程：描述一维晶体的位移相变，是场论模型方程，因为 哈密顿 K 含有 4 而得名

非线性物理：孤波物理 (⑤)Double sine-Gordon(DSG)方程：描述He中的B相，原子共振 跃迁等等现象： =0 ·上述(3)（⑤）同属于Kein-Gordon方程的特例，它可以表示为下述 一般形式： 4n-ua=F(u》 F(四=in()时为SG方程，F(=pp3时为p方程， F(=sin(⑩+in(/2)/时为DSG方程

非线性物理：孤波物理 • (5) Double sine-Gordon (DSG)方程：描述3He中的B相，原子共振 跃迁等等现象： • 上述(3)~(5)同属于Klein-Gordon方程的特例， 它可以表示为下述 一般形式： • F(u)=sin(u)时为SG方程，F(u)=-3时为4方程， F(u)=[sin(u)+sin(u/2)]时为DSG方程

非线性物理：孤波物理 孤子的基本性质： ·大致分析一下形成孤子的物理条件。先看微分方程： un a'us,x0 ·这是通常的弦振动方程，线性无色散，为任意函数，通解为： u fx+at)+g(x-at) g(-a表示t=0时波形gx的波 g(x-at) 在t时刻向右平移a距离，即右 行波；而f在+表示左行波

非线性物理：孤波物理 孤子的基本性质： • 大致分析一下形成孤子的物理条件。先看微分方程： • 这是通常的弦振动方程，线性无色散，u为任意函数，通解为： • g(x-at)表示t=0时波形g(x)的波 在t时刻向右平移at距离，即右 行波；而f(x+at)表示左行波

非线性物理：孤波物理 ·这一方程没有什么实际物理，相比较看微分方程： u,+uxe=0 也是线性方程，但是包含色散项4，其通解为： u(x,t)=expli(kx-ot) u(x,t=∑Cexpli(kx-ot刀 o为圆频率，k=2π九为波数，为波长，Fk3,相速为ok=k2与k 有关，即所谓色散。所以通解应该是求和表达式

非线性物理：孤波物理 • 这一方程没有什么实际物理，相比较看微分方程： • 也是线性方程，但是包含色散项uxxx，其通解为： • 为圆频率，k=2/为波数，为波长，=k3，相速为/k=k2与k 有关，即所谓色散。所以通解应该是求和表达式

非线性物理：孤波物理 再考虑一个非线性但是无色散的微分方程： u,+uu,=0 uw为非线性项，行波解是u=uc-v且波速=u,意即波形上不同 高度点的速度不同，波速与高度成正比，因此波形在传播过程中 一定发生变化： (大 w小 1=0 >0

非线性物理：孤波物理 • 再考虑一个非线性但是无色散的微分方程： • uux为非线性项，行波解是u=u(x-vt)且波速v=u，意即波形上不同 高度点的速度不同，波速与高度成正比，因此波形在传播过程中 一定发生变化：

非线性物理：孤波物理 最后考虑KdV方程： u:ouux +ux0 4x为色散项，6uw为非线性项，两者相互抵消，得到孤波解： u(x,t)=-2k'sech'fk(x-4kt-x) 可见波幅与波速关联，导致波幅高 者波速大，典型孤波特征。 ·产生孤子的物理条件：色散与非线 性共存并微妙竞争

非线性物理：孤波物理 • 最后考虑KdV方程： • uxxx为色散项，6uux为非线性项，两者相互抵消，得到孤波解： • 可见波幅与波速关联，导致波幅高 者波速大，典型孤波特征。 • 产生孤子的物理条件：色散与非线 性共存并微妙竞争

非线性物理：孤波物理 孤子代表的物理过程有一些共同的性质： ()能量有限，且分布在有限的空间范围内。 (2)弹性碰撞。 孤波在传播过程中不会弥散，而波包会弥散。冲击波波形前段是 奇异的，也不是孤波。 波 冲击波

非线性物理：孤波物理 • 孤子代表的物理过程有一些共同的性质： • (1) 能量有限，且分布在有限的空间范围内。 • (2) 弹性碰撞。 • 孤波在传播过程中不会弥散，而波包会弥散。冲击波波形前段是 奇异的，也不是孤波