南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理混沌物理3/4

非线性物理：混沌物理 周期轨道与混沌： 前面几小节讨论了非线性动力系统演化的多样性、分叉的基本概 念及表征、非线性系统演化的几何特征和广域边界的分形特征。 下面开始讨论混沌发生本身的演化过程。我们最普遍的认识是： 混沌系统是周期分叉导致，如果所有周期轨道在演化过程中都失 稳，则混沌就不可避免。 以帐篷映射和锯齿映射为例来说明迭代过程中的周期轨道行为。 2xn,0≤xmn≤1/2 2xn,0≤xn<1/2 =T(xn)= =S(x)= 2-2xn,1/2<xn≤1 2xm-1,1/2≤xn≤1

非线性物理：混沌物理 周期轨道与混沌： • 前面几小节讨论了非线性动力系统演化的多样性、分叉的基本概 念及表征、非线性系统演化的几何特征和广域边界的分形特征。 • 下面开始讨论混沌发生本身的演化过程。我们最普遍的认识是： 混沌系统是周期分叉导致，如果所有周期轨道在演化过程中都失 稳，则混沌就不可避免。 • 以帐篷映射和锯齿映射为例来说明迭代过程中的周期轨道行为

非线性物理：混沌物理 帐篷映射的两次迭代TPy与多次迭代下mx)轨道如下图示： b】 ·TPx)与y=x有四个交点，x=0和=23为周期1交点；x=2/5和=4/5 为周期2交点。x-→2/5→4/5-→2/5-→4/5.，Tmx)与y=x的交点及 其对应的周期数会更多，与m相关。 因为这些交点的斜率分别为入=2和入=4，因此都不稳定

非线性物理：混沌物理 • 帐篷映射的两次迭代 T2(x) 与多次迭代 Tm(x) 轨道如下图示： • T2(x)与y=x有四个交点，x=0和x=2/3为周期1交点；x=2/5和x=4/5 为周期2交点。x2/54/52/54/5…，Tm(x) 与 y=x 的交点及 其对应的周期数会更多，与m相关。 • 因为这些交点的斜率分别为=2和=4，因此都不稳定

非线性物理：混沌物理 锯齿映射的二次和多次迭代Sx)、Smx)图示如下： n+ 用中 02m2×2 (a) (b) ·S)与=x有四个交点，x=0和=1为周期1交点；x=13和=23为 周期2交点，x→1/3→23→1/3→23..，S"x)与y=x的交点及其 对应的周期数会更多，与m相关。 同理，这些交点也是不稳定的

非线性物理：混沌物理 • S2(x)与y=x有四个交点，x=0和x=1为周期1交点；x=1/3和 x=2/3为 周期2交点， x1/32/31/32/3…，Sm(x) 与 y=x 的交点及其 对应的周期数会更多，与m相关。 • 同理，这些交点也是不稳定的。 • 锯齿映射的二次和多次迭代 S(x)、Sm(x) 图示如下：

非线性物理：混沌物理 对于Tmx)及Smx)之类，如何判断这些轨道交点的周期数？一种 有效方法是以二进制数来表示，非常有趣！ 。 设初值是x0.u42344,其中a非0即1。 按照锯齿映射S,2x,代表小数点向右移动一位，即ra234…, 如x<0.5,a,0,迭代一次得到r=ur234.=0.a234…;如 x≥0.5，a-1,按照迭代要求得到x0a34-1=0.a234.。锯 齿映射就是每次迭代小数点向右移动一位，整数部分取0。 。】 对帐篷映射T,x<0.5时迭代与上相同，x20.5时，x=2-2x,1- (2x1)=1-Sc),即将0.a2304.中的0和1对易，0-→1,1→0

非线性物理：混沌物理 • 对于Tm(x)及Sm(x)之类，如何判断这些轨道交点的周期数？一种 有效方法是以二进制数来表示，非常有趣！ • 设初值是 x0=0.a1a2a3a4…，其中ai非0即1。 • 按照锯齿映射S，2x0代表小数点向右移动一位，即a1.a2a3a4…， 如x0<0.5，a1=0，迭代一次得到x1=a1.a2a3a4…= 0.a2a3a4… ；如 x00.5，a1=1，按照迭代要求得到x1=a1.a2a3a4…-1=0.a2a3a4…。锯 齿映射就是每次迭代小数点向右移动一位，整数部分取0。 • 对帐篷映射T，x0<0.5时迭代与上相同， x00.5时，x1=2-2x0=1- (2x0-1)=1-S(x0)，即将0.a2a3a4…中的0和1对易，01，10

非线性物理：混沌物理 例如：x=0.101101>0.5,2x=1.01101-→0.01101，x产2- 2x=0.10010。 ,下面可以来分析锯齿映射的初值x对应的周期数了。 设x=0.1010101010..=23=0.10,x=0.0101010..=1/3=0.01;迭代 在0.10和0.01之间循环，说明是周期2轨道。 ·对于x=4/7=0.100,x=1/7=0.001,x2=2/7=0.010,依此类推，周 期3轨道。 如果x)0.a0203…up00203…up.=0.4142g…Lp,对应周期P轨道

非线性物理：混沌物理 • 例如：x0=0.101101>0.5，2x0=1.011010.01101，x1=2- 2x0=0.10010。 • 下面可以来分析锯齿映射的初值x0对应的周期数了。 • 设x0=0.1010101010…=2/3=0.10，x1=0.0101010…=1/3=0.01；迭代 在0.10和0.01之间循环，说明是周期2轨道。 • 对于x0=4/7=0.100，x1=1/7=0.001，x2=2/7=0.010，依此类推，周 期3轨道。 • 如果x0=0.a1a2a3…aPa1a2a3…aP…=0.a1a2a3…aP，对应周期P轨道

非线性物理：混沌物理 ·有趣的是，帐篷映射和锯齿映射具有下列关联： ·TT=TS,TTT=TTS)=TSS,TNx)=TSY1)。证明如下： ·T(T)=T2x)=4:,TSx=T(2x=4k,0x≤I/4 T(T)=T(2x)=2-4k,TS)=T2x=2-4x,1/4x≤I/2 TTx)=T2-2x)=-2+4k,TSx)=T2-2x=-2+4x,1/2<x≤3/4 T(T)=T2-2x)=4-4k,TS=T2-2x=4-4,3/4Kx≤1 ·由此得到一个重要结论：如果wSP(w,则xp=x=Tw。 ·xp=TPKd=TP(Tw》=TP4'(wd=TSP(wd=TwW=xo

非线性物理：混沌物理 • 有趣的是，帐篷映射和锯齿映射具有下列关联： • TT(x)=TS(x), TTT(x)=TTS(x)=TSS(x), TN(x)=TSN-1(x)。证明如下： • T(T(x))=T(2x)=4x, T(S(x))=T(2x)=4x, 0x 1/4 • T(T(x))=T(2x)=2-4x, T(S(x))=T(2x)=2-4x, 1/4<x 1/2 • T(T(x))=T(2-2x)=-2+4x, T(S(x))=T(2-2x)=-2+4x, 1/2<x 3/4 • T(T(x))=T(2-2x)=4-4x, T(S(x))=T(2-2x)=4-4x, 3/4<x 1 • 由此得到一个重要结论：如果 w0=SP(w0)，则 xP=x0=T(w0)。 • xP=TP(x0)=TP(T(w0))=TP+1(w0)=TSP(w0)=T(w0)=x0

非线性物理：混沌物理 ·例如：w=1/7是锯齿映射的周期3轨道点，则x=2/7=T(1/7)就是帐 篷映射周期3轨道点。事实上，x,=2/7->x=4/7-→x26/7→x2/7。 ·关于周期3轨道有一个著名的数论定理一Sharkovsky定理：一维 映射x+f()存在下列自然数列： L1:3,5,7,9,11,13,15,.… ·L2=2*L1:6,10,14,18,22,26,30,.… ·L3=3*L1:12,20,28,36,44,52,60,. Ln=2m,.,64,32,16,8,4,2,1 如映射有周期为某数的解，就一定有排在此数后面全部数的解。 注意到，周期3的解表示系统具有全部周期解，即混沌！

非线性物理：混沌物理 • 例如：w0=1/7是锯齿映射的周期3轨道点，则x0=2/7=T(1/7)就是帐 篷映射周期3轨道点。事实上，x0=2/7x1=4/7x2=6/7x3=2/7。 • 关于周期3轨道有一个著名的数论定理－Sharkovsky定理：一维 映射 xn+1=f(xn) 存在下列自然数列： • L1: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,… • L2=2*L1: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30,… • L3=3*L1: 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60,… • Ln=2n, …, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1 • 如映射有周期为某数的解，就一定有排在此数后面全部数的解。 • 注意到，周期3的解表示系统具有全部周期解，即混沌！

非线性物理：混沌物理 周期3意味着混沌：Li-Yorke定理！ 一个例子是： x+1Ff=3xn(0I/3),17/9-8x,/3(132/3),1/9(23s≤。 ·因为f1/9)=1/3,f13)=L,f)=1/9,所以有周期3，即混沌。 混沌对应于统计物理中的各态历经。 ·事实上，我们前面提到的李雅普洛夫指数为正从稳定性角度描述 了这种混沌的平均行为。 福

非线性物理：混沌物理 • 周期3意味着混沌：Li-Yorke定理！ • 一个例子是： • xn+1=f(xn)=3xn (0x 1/3), 17/9-8xn/3 (1/3x 2/3), 1/9 (2/3x 1)。 • 因为f(1/9)=1/3, f(1/3)=1, f(1)=1/9，所以有周期3，即混沌。 • 混沌对应于统计物理中的各态历经。 • 事实上，我们前面提到的李雅普洛夫指数为正从稳定性角度描述 了这种混沌的平均行为

非线性物理：混沌物理 从倍周期走向混沌： ·并非一定要有周期3才能混沌。现在说明平方映射的偶数周期走 向混沌行为。 Xn+1=xn（(1-Xn） 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 02468101214161820 n

非线性物理：混沌物理 从倍周期走向混沌： • 并非一定要有周期3才能混沌。现在说明平方映射的偶数周期走 向混沌行为。 (1 ) n 1 n n x  x  x  

非线性物理：混沌物理 一些基本混沌特征：典型的倍周期分叉走向混沌。 倍周期分叉对应的参数值μ间距越来越小，Feigenbaum常数。 混沌初看模糊一片，细看可见模糊图象深浅程度不同，可区分出 不同区域。说明迭代终值并非混乱一片，而是存在一定层次。 模糊区域可见一些大大小小窗口，犹如两片乌云间有一小片蓝天 ，说明这些区域仍存在规则运动，对应于李雅普洛夫指数为负。 平方映射随参数值增加展现一幅规则一随机一规则一随机…交织 起来的丰富多彩图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次 的运动形态

非线性物理：混沌物理 • 一些基本混沌特征：典型的倍周期分叉走向混沌。 • 倍周期分叉对应的参数值间距越来越小，Feigenbaum常数。 • 混沌初看模糊一片，细看可见模糊图象深浅程度不同，可区分出 不同区域。说明迭代终值并非混乱一片，而是存在一定层次。 • 模糊区域可见一些大大小小窗口，犹如两片乌云间有一小片蓝天 ，说明这些区域仍存在规则运动，对应于李雅普洛夫指数为负。 ￾ 平方映射随参数值增加展现一幅规则―随机―规则―随机…交织 起来的丰富多彩图象，说明混沌是一种特殊的、包含着无穷层次 的运动形态