南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理分形物理4/5

非线性物理：分形物理 标度对称性：分数维布朗运动 标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性 和自相似性。通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。 ·从随机布朗运动开始。分子平均位移方差和自相关系数： (x）x1 Rfx)=≤小x1+z> =e7 · R(是指数函数，T为特征时间。R(的傅立叶变换就是布朗运动 的功率谱S0: Sf)=DR(r小edrf-

非线性物理：分形物理 标度对称性：分数维布朗运动 • 标度对称性是分形体重要的性质，它反映了分形结构的多尺度性 和自相似性。通过一些熟悉的物理过程还可分析此标度对称性。 • 从随机布朗运动开始。分子平均位移方差和自相关系数： • R()是指数函数，T为特征时间。R()的傅立叶变换就是布朗运动 的功率谱 S(f)：

非线性物理：分形物理 。 S0属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。 如果有一噪声信号x,其傅立叶变换为x(f),则： )=」if小ed 2π ·功率谱S)就是其变换系数模的平方： S(f)=(f)a f- ·对布朗运动，指数2。上式微分一次得： (if )d dt 2π

非线性物理：分形物理 • S(f)属于噪声宽带谱，所以布朗运动也是褐色噪声。 • 如果有一噪声信号 x(t)，其傅立叶变换为 ，则： • 功率谱 S(f)就是其变换系数模的平方： • 对布朗运动，指数 =2。上式微分一次得：

非线性物理：分形物理 对应的功率谱S0满足： Sfe=旅fxf?=f 对另外一类布朗运动，S0~f”,即白噪声，它可以产生于布朗运 动微分。一般噪声的功率谱指数B∈0,2引。 S(f】 ◆褐色噪声（或11f2噪声） 白噪声 w.e w (c)褐色噪声 (a)白噪声

非线性物理：分形物理 • 对应的功率谱 S(f)满足： • 对另外一类布朗运动，S(f)~f 0，即白噪声，它可以产生于布朗运 动微分。一般噪声的功率谱指数 [0, 2]

非线性物理：分形物理 ◆S(f) 41f噪声 产p g (b)1f噪声 ·如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动： a12a ·标度指数1/2对应普通布朗运动。注意到量纲等价条件： f.S(f)=f·fB=12a=f2a B=2a+1

非线性物理：分形物理 • 如果我们将布朗运动普遍化，这就是分数维布朗运动： • 标度指数 =1/2对应普通布朗运动。注意到量纲等价条件：

非线性物理：分形物理 。 任意随机信号也可以表示为： x(t)octa x(t) in statistical sense x(At 28 上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量t改变入倍， 则对应的振幅也要改变入倍，则信号彼此在统计上没有差别。 这就是标度不变性和自相似性

非线性物理：分形物理 • 任意随机信号也可以表示为： • 上式证明很简单，但是表示了将原有信号的自变量 t 改变  倍， 则对应的振幅也要改变 - 倍，则信号彼此在统计上没有差别。 这就是标度不变性和自相似性

非线性物理：分形物理 (b) (c) (d)

非线性物理：分形物理

非线性物理：分形物理 以普通布朗运动为例说明其分维：因为x()和x(2)/2a自相似， 对t∈0，W区间，用尺度r去测量得到N个单元N=1/m)。 现在用尺度r2去测量t∈0,1/2区间内单元个数。因为指数标度的 缘故，t∈/0,1/2/区间内单元数变成t∈0,1/区间内单元数的1/2倍 ,再用r/2的尺度去测量，就会测得2N/2个单元。 对t∈1/2,1W区间也是一样，总共在t∈0,1区间测得22-N个单元。 依此类推，用尺度2测量，得到22yN个单元，维数D是： D=me-，-a B=2a+1=22-D)+1=5-2D

非线性物理：分形物理 • 以普通布朗运动为例说明其分维：因为 x(t) 和 x(2t)/2 自相似， 对 t[0,1]区间，用尺度 r 去测量得到 N 个单元(N=1/r)。 • 现在用尺度 r/2 去测量t[0,1/2]区间内单元个数。因为指数标度的 缘故， t[0,1/2]区间内单元数变成t[0,1]区间内单元数的1/2倍 ， 再用 r/2 的尺度去测量，就会测得 2N/2个单元。 • 对t[1/2,1]区间也是一样，总共在t[0,1]区间测得22-N个单元。 • 依此类推，用尺度 r/2k 测量，得到(22-)kN个单元，维数D是：

非线性物理：分形物理 标度对称性：物理学实例 ·临界现象中的标度不变性： a(T-T) 5[(T-T1=入(T-T) 湍流体系中，相距为r的两点速度差)是随机信号， Kolmogorov证明： Av(r)a ra,a=- 3 B=2C+1 ((Av(r))cr3,s(k)k

非线性物理：分形物理 标度对称性：物理学实例 • 临界现象中的标度不变性： • 湍流体系中，相距为 r 的两点速度差 v(r) 是随机信号， Kolmogorov证明：

非线性物理：分形物理 。 对于湍流，标度不变性也是成立的： (）x(《arP% S(k)元3S(k》 ·对于双变量体系，幂指数标度不变性也成立。以布朗运动为例， x()的概率分布满足： px(i)1)= 2Vπ ·作变换后得到： 1 1 1 x→2x,t→tp(元2x,t)=元2p(x,t)

非线性物理：分形物理 • 对于湍流，标度不变性也是成立的： • 对于双变量体系，幂指数标度不变性也成立。以布朗运动为例， x(t)的概率分布满足： • 作变换后得到：

非线性物理：分形物理 1 1 p(x.t )dx=p(x d()=1 上式说明标度变换能够保持体系许多本征性质不变。 再一个双变量体系是铁磁相变。自由能f是温度t和外场的函 数，作如下变化可得到重整化标度不变性： t→t,h→hf't,2h)=f(t,h) 1 f(t,h)=haF 、hP

非线性物理：分形物理 • 上式说明标度变换能够保持体系许多本征性质不变。 • 再一个双变量体系是铁磁相变。自由能 f 是温度 t 和外场 h 的函 数，作如下变化可得到重整化标度不变性：