上海交通大学：《大学物理教程》课程电子教案（课件讲稿）第22章 量子力学基础 22.2 波函数及统计解释

第22章量子力学基础 §22.1实物粒子的波动性 §22.2波函数及统计解释 §22.3不确定性关系 §22.4薛定谔方程 §22.5力学量算符的本征值问题 §22.6薛定谔方程的应用 §22.7氢原子量子理论 §22.8电子的自旋泡利不相容原理

§22.1 实物粒子的波动性 §22.2 波函数及统计解释 §22.3 不确定性关系 §22.4 薛定谔方程 §22.6 薛定谔方程的应用 §22.5 力学量算符的本征值问题 §22.7 氢原子量子理论 §22.8 电子的自旋 泡利不相容原理 第 22 章 量子力学基础

§22.2波函数及统计解释 一、波函数 既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数 一波函数。 奥地利物理学家薛定谔(E.Schrodinger)1926 年提出用波函数r,)描述粒子运动状态。 按德布罗意假设：能量E、动量p的“自由粒子”沿x 方向运动对应的物质波应为“单色平面波”： Ψ(x,t)=yoe-i(or-r)

§22.2 波函数及统计解释 一、波函数 既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数— —波函数。 奥地利物理学家薛定谔（E．Schrödinger）1926 年提出用波函数Ψ(r, t)描述粒子运动状态。 按德布罗意假设：能量E、动量 p 的“自由粒子”沿x 方向运动对应的物质波应为“单色平面波”： )(i 0e),( kxt tx −− = ω Ψ ψ

或由关系数 E=ho,p=hk 可将波函数改写为 (x0=y,e方-m) 为待定常数 若粒子为三维自由运动，波函数可表示为 (F,t)Wo 波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？

)( i 0e),( pxEt tx −− = Ψ ψ h ——ψ0为待定常数 E = hω, = hkp 或由关系数 可将波函数改写为 若粒子为三维自由运动，波函数可表示为 )( i 0e),( tErp tr −⋅ = rr h r Ψ ψ 波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？

二、波函数的统计解释 对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登 上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不 清，使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。 爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子)和波的二 象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。 玻恩(M.Born,1882-1970)在这个观 念的启发下，马上将其推广到函数上： |2必须是电子（或其它粒子）的几率 密度”。 平(r,t)的物理意义在于： 波函数的模的平方（波的强度）代 表时刻t、在空间下点处，单位体 积元中微观粒子出现的概率。 1954年，玻恩获诺贝尔物理奖

二、波函数的统计解释 对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登 上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不 清，使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。 爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二 象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。 玻恩( M．Born ，1882—1970)在这个观 念的启发下，马上将其推广到 Ψ函数上： |Ψ| 2必须是电子（或其它粒子）的几率 密度 ” 。 1954年，玻恩获诺贝尔物理奖。 Ψ（ , t）的物理意义在于： 波函数的模的平方（波的强度）代 表时刻 t、在空间 点处，单位体 积元中微观粒子出现的概率。 r r r r

说明： 1.平(，)不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。 有意义的是 ,t)=Ψ，t2=Ψ，t)G,) 对单个粒子，平2给出粒子的概率分布密度： 对N个粒子，N平给出粒子数的分布密度。 在时刻、空间下点处，体积元V中发现微观粒子 的概率为： p(行，t)dV=Ψ（匠，t)平丘，t)dV 对N粒子系，在体积元dV中发现的粒子数为 dN=N平(f,t)Ψ(f,t)d

Ψ tr ),( 不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。 r 有意义的是 对单个粒子， 给出粒子的概率分布密度； 2 Ψ 对 N 个粒子， 2 N Ψ 给出粒子数的分布密度。 ( ) ( ) ( ) ( ,,,, trtrtrtr ) r r 2 r * r Ψρ == ΨΨ ( ) ( )d,,d),( VtrtrVtrr r * r ρ = ΨΨ 在时刻 t、空间 点处，体积元 d V 中发现微观粒子 的概率为： r r 对 N 粒子系，在体积元 d V 中发现的粒子数为 N Ψ ( trN ) Ψ ( )d,,d Vtr r * r = 1. 说明：

[例22-2]用几率波说明弱电子流单缝衍射 让入射电子几乎一个一个地通过单缝 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 说明电子具有 少数几个电子 “粒子性”，但不满足经典的决定论。 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样—衍射图样来源于“单个电子”所 具有的波动性—统计规律。 数百个电子 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 德布洛意波（物质波)也称为概率波。 数万个电子

让入射电子几乎一个一个地通过单缝 随着电子数增大，逐渐形成衍射图 样——衍射图样来源于 “单个电子 ” 所 具有的波动性——统计规律。 底片上出现一个一个的点子，开始时 点子无规则分布 ——说明电子具有 “粒子性 ”，但不满足经典的决定论。 一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果。 [ 例22-2] 用几率波说明弱电子流单缝衍射 数百个电子 少数几个电子 数万个电子 德布洛意波（物质波）也称为概率波

2.如何理解微观粒子的波粒二象性 (1)粒子性 指它与物质相互作用的“整体性”。但不是经 典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。 (2)波动性 “弥散性”、“可叠加性”、“干涉”、“衍射”。不 是经典的波，并不对应某真实物理量的波动。 (3)在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特 性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特 性一即波粒二象性。 “波动性”与“粒子性”的联系—玻恩统计解释

2. 如何理解微观粒子的波粒二象性 （1）粒子性 指它与物质相互作用的 “整体性”。但不是经 典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。 (2) 波动性 “弥散性”、“可叠加性”、“干涉”、“衍射”。不 是经典的波，并不对应某真实物理量的波动。 (3) 在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特 性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特 性—即波粒二象性。 “波动性”与“粒子性”的联系——玻恩统计解释

3.关于量子力学的争论 ·以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本 哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶 然性的平均表现。 0 以爱因斯坦为首，包括薜定 谔、德布罗意学派：自然规律根 本上是决定论的。“上帝肯定不 是用掷骰子来决定电子应如何运 动的！” “God does not play dice

3. 关于量子力学的争论 • 以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩的哥本 哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶 然性的平均表现。 • 以爱因斯坦为首，包括薛定 谔、德布罗意学派：自然规律根 本上是决定论的。“上帝肯定不 是用掷骰子来决定电子应如何运 动的！” “God does not play dice

Einstein-.Bohr争论(1927-1955) 在1927年Solvey会议上： Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。 Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。 Bohr: 所有粒子的不确定性是原则的、本性的。 Einstein: 我不相信上帝会玩骰子（色子)。 Bohr: 不要指挥上帝去做什么

Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以 设计更精确的实验仪器解决。 Bohr: 所有粒子的不确定性是原则的、本性的。 Einstein: 我不相信上帝会玩骰子（色子）。 Bohr: 不要指挥上帝去做什么。 Einstein-Bohr 争论（1927-1955） Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前 一个电子落在何处有关，这是不可能的。 Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。 在1927年Solvey会议上：

三、波函数应满足的条件 1.自然条件：单值、有限和连续 2.归一化条件 粒子出现在dV体积内的几率为： p(,t)dV=Ψ(F,t)dV 粒子在空间各点的概率总和应为1， ∫Ψ'(F,t)Ψ(f,t)dV=1 一一(2为全空间) END

三、波函数应满足的条件 1. 自然条件：单值、有限和连续 2. 归一化条件 —— ( Ω为全空间 ) d),( d),( VtrVtrr r 2 ρ = Ψ 1d),(),( * ∫ = Ω Ψ tr Ψ Vtr r r 粒子出现在 d V 体积内的几率为： 粒子在空间各点的概率总和应为 l ， END