南京大学：《非线性物理学》课程电子教案（课件讲稿）非线性物理分形物理2/5

非线性物理：分形物理 相变问题： 。 经典统计物理关注的相变问题一般是针对具有平移对称性的物理 对象，在空间上具有整数维。典型的是Eden模型和Ising模型。 sig模型在=1时无相变，仁2和3时有有限温度相变。模型哈密 顿可以写为： H=H(o)=-∑Jo,o,-h∑o,o=±1 Ki.i>

非线性物理：分形物理 相变问题： • 经典统计物理关注的相变问题一般是针对具有平移对称性的物理 对象，在空间上具有整数维。典型的是Eden模型和Ising模型。 • Ising模型在d=1时无相变，d=2和3时有有限温度相变。模型哈密 顿可以写为： H H( ) J h , 1 i i i, j    i j             

非线性物理：分形物理 在h=0时，如果=1，T。=0;如果d=2,T满足白银解： Ford=2:exp(-2K)=V2-1,K。=J/kT。 在=0时，如果=2，还没有严格解，有人声称T满足黄金解： For d=3:exp(-2K)=- 5-1 K=J/kTo 2 在T附近，系统热力学量满足幂指数律，且有有限尺度标度： ξ(T)~T-Te- (T)|T-T|-"→L M(T)(T。-T)9 M(T)~(T-T)3→L-B/w CT-T- C(T)~lT-Te|-a→La/" X~T-Tel-Y X|T-T|-Y→LY/

非线性物理：分形物理 • 在h=0时，如果d=1，Tc=0；如果d=2，Tc满足白银解： c c c For d  2 : exp( 2K )  2 1, K  J / kT c c c , K J / kT 25 1 For d 3 : exp( 2K )      • 在h=0时，如果d=2，还没有严格解，有人声称Tc满足黄金解： • 在Tc附近，系统热力学量满足幂指数律，且有有限尺度标度：

非线性物理：分形物理 ·这些临界指数对于二级相变都有确定的数值： d=2时：a=0,B=1/8,=7/4,8=15,n=1/4,v=1; d=3时：有人猜测o=0,B=3/8,Y=5/4,δ=133，n=1/8,v=2/3 二级相变有所谓如下普适关系： 0+2B+y=2,y=B(δ-) ·对分形物理来说，当空间维度d→d±ε时，相变行为如何？ ·当空间本身就是一个确定的分形体(时，相变行为如何？

非线性物理：分形物理 • 这些临界指数对于二级相变都有确定的数值： • d=2时：=0, =1/8, =7/4, =15, =1/4, =1； • d=3时：有人猜测=0, =3/8, =5/4, =13/3, =1/8, =2/3 • 二级相变有所谓如下普适关系：   2    2,   ( -1) • 对分形物理来说，当空间维度d d   时，相变行为如何？ • 当空间本身就是一个确定的分形体(df)时，相变行为如何？

非线性物理：分形物理 (a) Eden模型： Eden模型的要点是一个点阵 中颗粒随机加在一个已存在颗 粒的周边近邻位置上。 ·这种生长是平衡的，产生的团 簇cluster形态比较密实，具有 不很严格的拓扑形态。 。 右图就是一个在二维正方格点 产生的Eden团簇。 所谓的&expansion物理

非线性物理：分形物理 Eden模型： • Eden模型的要点是一个点阵 中颗粒随机加在一个已存在颗 粒的周边近邻位置上。 • 这种生长是平衡的，产生的团 簇cluster形态比较密实，具有 不很严格的拓扑形态。 • 右图就是一个在二维正方格点 产生的Eden团簇。 所谓的 -expansion 物理

非线性物理：分形物理 ,这一模型很简单，比较有意义的两个问题是： ()是不是有严格的拓扑关系：分形维DH=2.0? (2)团簇周边形态或者说几何涨落有多大？与团簇回转半径有什 么关系？ N(r)RDu AR RDR 式中R为团簇以中心为原点定义的半径，R是团簇边缘形状相对 于回转半径R的涨落，这里两个R有不同，后一个R是回转半径。 后面会证明：在团簇足够大时，DHc2.0,Dp0.0

非线性物理：分形物理 • 这一模型很简单，比较有意义的两个问题是： (1) 是不是有严格的拓扑关系：分形维DH=2.0？ (2) 团簇周边形态或者说几何涨落有多大？与团簇回转半径有什 么关系？ R H D D R R N(r ) R    • 式中R为团簇以中心为原点定义的半径，R是团簇边缘形状相对 于回转半径R的涨落，这里两个R有不同，后一个R是回转半径。 • 后面会证明：在团簇足够大时，DH~2.0，DR~0.0

非线性物理：分形物理 看看一个具有内部自由度的Eden模型，所谓magnetic Eden model(MEMW。D=2时，模型将颗粒分成两类：向上spin和向下 spin(o=tl),其哈密顿为： BJ BE=-2 0,0-BH∑o, ·式中：l/kT、J是spin之间的交互作用、H是外场，表示对最 近临求和。 这个模型事实上就是Ising模型，将其放在一个Eden集团上来研 究

非线性物理：分形物理 • 看看一个具有内部自由度的Eden模型，所谓magnetic Eden model (MEM)。D=2时，模型将颗粒分成两类：向上spin和向下 spin (i=1)，其哈密顿为： • 式中=1/kT、J是spin之间的交互作用、H是外场，表示对最 近临求和。 • 这个模型事实上就是Ising模型，将其放在一个Eden集团上来研 究

非线性物理：分形物理 当BJ=0时，上述模型就回到了标准的Eden模型。它的内涵比 Eden模型要丰富得多。 MEM模型在一维情况下有严格解，那是统计物理的任务，我们 这里就懒得麻烦了，后面看看基本结论。这里先看看二维情况。 ·该模型二维模拟的基本步骤是： ·构造一个二维正方点阵，在中心点设置一个颗粒σ1。 在中心点四周四个最近临位置任选一个，然后假定加上一个σ一1 或者σ-1的颗粒，也是随机选择

非线性物理：分形物理 • 当 ·J=0时，上述模型就回到了标准的Eden模型。它的内涵比 Eden模型要丰富得多。 • MEM模型在一维情况下有严格解，那是统计物理的任务，我们 这里就懒得麻烦了，后面看看基本结论。这里先看看二维情况。 • 该模型二维模拟的基本步骤是： • 构造一个二维正方点阵，在中心点设置一个颗粒=1。 • 在中心点四周四个最近临位置任选一个，然后假定加上一个=1 或者=-1的颗粒，也是随机选择

非线性物理：分形物理 ·计算A(BE=(BE)er(BE)wfore,计算： p=exp-P=I fA(BE)<0 p=卫f4(E)≥0 ·这个颗粒是否稳定停留决定于概率的大小，随机决定。 ·上述过程是Monte Carlo方法的基本步骤。 ,上述模拟也可以沿另外一个路径进行： 对中心点四周四个最近临位置的每一个都进行上述步骤，即假定 加上一个σ1或者σ=-1的颗粒，随机选择

非线性物理：分形物理 • 计算(E)=(E)after-(E)before，计算： • 这个颗粒是否稳定停留决定于概率p的大小，随机决定。 • 上述过程是Monte Carlo方法的基本步骤。 • 上述模拟也可以沿另外一个路径进行： • 对中心点四周四个最近临位置的每一个都进行上述步骤，即假定 加上一个=1或者=-1的颗粒，随机选择。           p p if ( E ) 0 p 1 if ( E ) 0 p exp ( E )      

非线性物理：分形物理 exp-A(BE) P,= ∑expl-A(BE)】 →{R∈[p,P,p,p,] MEM模型可以应用到磁学之外的很多系统： (I)spin可以是元素种类X和Y,这样可以应用到二元化学系统。 因此spin upi和spin down的比例可以外部定义。 ·(2)材料中杂质与缺陷与晶格有很强的交互作用，可以研究材料 中杂质或者缺陷效应。 (3)Salmonella细菌细胞也呈现两态行为：其中一些基因可以被“ 开”和“关

非线性物理：分形物理 • MEM模型可以应用到磁学之外的很多系统： • (1) spin可以是元素种类X和Y，这样可以应用到二元化学系统。 因此spin up和spin down的比例可以外部定义。 • (2) 材料中杂质与缺陷与晶格有很强的交互作用，可以研究材料 中杂质或者缺陷效应。 • (3) Salmonella细菌细胞也呈现两态行为：其中一些基因可以被“ 开”和“关”。        1 2 3 4 i i i i R p , p , p , p exp ( E ) exp ( E ) p            

非线性物理：分形物理 BJ=0.5 (a) (4)外场项可以表示外磁 场、外电场或者化学势、 压力等等，只要互作用的 形式是一样的就行。 ·我们略去外场项，只是研 究双态和交互作用行为

非线性物理：分形物理 • (4) 外场项可以表示外磁 场、外电场或者化学势、 压力等等，只要互作用的 形式是一样的就行。 • 我们略去外场项，只是研 究双态和交互作用行为