《机械工程控制基础》课程教学资源（讲稿）第六章 拉氏变换

课题：拉氏变换的概念 章节：§6.1拉氏变换的概念 课时：2 上课时段：2005-12-1~12-2 重点：拉氏变换的定义 要求：理解拉氏变换的定义，掌握拉氏变换的求解方法，记住某些特殊函数的拉氏变换，了解 周期函数的拉氏变换公式 内容： 1.引子 已知p(),求p(t)u(t)eB1(B>0)的傅氏变换。 Gp()=u)e-edf(ed=jfedt 其中 f0=pu(0s=B+jo→0=5-里 令 -c\ 可得 F(s)=0f)edt(其中s是一个复参量，且Rs)>0) 2、定义 拉普拉斯变换（简称拉氏变换） F(s)==f()e-"dt (R.(s)>0) 可作变换的条件1)ft)当t≥0时有定义 148

148 课题：拉氏变换的概念 章节：§6.1 拉氏变换的概念 课时：2 上课时段：2005-12-1~12-2 重点：拉氏变换的定义 要求：理解拉氏变换的定义，掌握拉氏变换的求解方法，记住某些特殊函数的拉氏变换，了解 周期函数的拉氏变换公式 内容： 1． 引子 已知ϕ(t)，求 t t u t e β ϕ − ( ) ( ) ( β > 0 )的傅氏变换。 G t u t e e dt β t jω t β ω ϕ +∞ − − ∫ −∞ ( ) = ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − + +∞ − = = 0 0 ( ) f (t)e dt f (t)e dt β jω t st 其中 j s f t t u t s j β ϕ β ω ω − ( ) = ( ) ( ), = + ⇒ = 令 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = j s F s G β β ( ) 可得 F s f t e dt st ∫ +∞ − = 0 ( ) ( ) (其中 s 是一个复参量，且 Re (s) > 0 ) 2、定义 拉普拉斯变换(简称拉氏变换) F s f t f ( )t e dt st ∫ +∞ − = = 0 ( ) L [ ( )] ( Re (s) > 0 ) 可作变换的条件 1) f (t)当t ≥ 0时有定义

第六章拉氏变换 2)。f)e”d在s的某一领域内收敛 逆变换：fu)=[F(s)] 拉氏变换实际上就是f(u)u(U)eB1的傅氏变换。 例1求单位阶跃函数()= 0,10 例2求指数函数f=e'的拉氏变换(k为实数). 解2[Uo-6eeah=je-ah当Rc>时收敛1 s-k 即后e-rh= 5-k 烈Ra国>大 3、拉氏变换的存在定理 f()要满足 1°t≥0的任一有限区间上分段连续： 2°t→+∞时，∫()的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及 c≥0，使得 lf(t=Meet0≤t<+oo 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数）

第六章 拉氏变换 149 2) f t e dt st ∫ +∞ − 0 ( ) 在 s 的某一领域内收敛 逆变换： ( ) [ ( )] 1 f t F s − = L 拉氏变换实际上就是 t f t u t e−β ( ) ( ) 的傅氏变换。 例 1 求单位阶跃函数 ⎩ ⎨ ⎧ ≥ = ⋅ +∞ − − ∫ 当 时收敛 L 即 [ ] s u t 1 L ( ) = ， Re(s) > 0 例 2 求指数函数 ( ) k t f t = e 的拉氏变换（k 为实数）。 解： [ ] s k s k f t e e dt e dt kt st s k t − > = ∫ = ∫ +∞ +∞ − − Re( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 当 时收敛 L 即 s k e dt s k t − ∫ = +∞ − − 1 0 ( ) 所以 [ ] s k e k t − = 1 L ， Re(s) > k 3、拉氏变换的存在定理 f (t)要满足： 1º t≥0 的任一有限区间上分段连续； 2º t→+∞时， f (t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数 M>0 及 c≥0，使得 f ( )t = M e ≤ t < +∞ c t 0 成立（满足此条件的函数，称它的增大是指数级的，c 为它的增长指数）

则f(t)的拉氏变换 F(s)=∫f()ed 在Re(s)>c上一定存在 例3求余弦函数f()=cos:(k为实数)的拉氏变换 解：[cosk=J0 coskt:ed "cos kid(e)coskdcosk) 当a8>-naea-in") -卢maek-后e4m刨 。m号 子cos 所以[osk个]=+k (R(s)>0) 同理正弦函数f)=sink(k为实数)的拉氏变换 [sin kr]=∫。"sin kted =J0 sin)=-smae-edsma 150

150 则 f (t)的拉氏变换 F s f t e dt st ∫ +∞ − = 0 ( ) ( ) 在 Re(s) > c 上一定存在 例 3 求余弦函数 f (t) = cos kt （k 为实数）的拉氏变换 解： ∫ +∞ − = ⋅ 0 [cos kt] cos kt e dt st L ∫ ∫ + ∞ ∞ − − +∞ + − = − ⋅ − − = 0 0 0 [cos (cos )] 1 cos ( ) 1 kt e e d kt s kt d e s st st st ∫ ∫ + ∞ ∞ − + − ⋅ − − ⋅ = − ⋅ > 0 0 sin ( ) 1 1 sin Re( ) 0 1 st st kt d e s s k s kt e dt s k s 当 s 时 ∫ − +∞ +∞ − = − ⋅ − 2 0 0 [sin (sin )] 1 kt e e d kt s k s st st [cos ] 1 cos 1 2 2 2 0 2 kt s k s kt e dt s k s st = + ⋅ = − ⋅L +∞ − ∫ 所以 [cos ] ( ( ) 0) 2 2 > + = R s s k s kt L e 同理正弦函数 f (t) = sin kt （k 为实数）的拉氏变换 ∫ +∞ − = ⋅ 0 [sin kt] sin kt e dt st L ∫ ∫ + ∞ ∞ + − − +∞ − = − ⋅ − − = 0 0 0 [sin (sin )] 1 sin ( ) 1 kt e e d kt s kt d e s st st st

第六章拉氏变换 =J。co-=J后cos) cokd(cosk -如ueh长发 ·sin 所以2sn个=+F (R(s)>0) 注意：1=0时的情况，在1=0处包含了脉冲函数时，则须明确积分区间是0还是0 f=∫。f0e"d fo=Jfe"d=∫f(De-"dt+∫fu0e"dh 当f0在1=0附近有界时∫f0e=0,即乡[f=乡f) 当f0在1=0处包含脉冲函数时，则。fe“d≠0，即子[f≠子[f】 为此，120的条件扩大为当1>0及1=0的任意一个领域内有定义，定义应为 乎.f=jf)e"d 但为了书写方便写为孕[/=∫。f0)e"dh 151

第六章 拉氏变换 151 ∫ ∫ + ∞ ∞ + − − ⋅ − = ⋅ = ⋅ 0 0 cos ( ) 1 cos st st kt d e s s k kt e dt s k ∫ +∞ − +∞ − = − ⋅ − 0 2 0 [cos kt e e d (cos kt)] s k st st sin [sin ] 2 2 2 0 2 2 2 kt s k s k kt e dt s k s k st = − ⋅ = − ⋅L − +∞ ∫ 所以 [sin ] ( ( ) 0) 2 2 > + = R s s k k kt L e 注意：t = 0 时的情况，在t = 0 处包含了脉冲函数时，则须明确积分区间是 0+ 还是 0- ∫ +∞ − + = 0 [ f (t)] f (t) e dt st L ∫ ∫ ∫ +∞ + − + − − +∞ − − − = = + 0 0 0 0 [ f (t)] f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt st st st L 当 f (t) 在t = 0 附近有界时 ( ) 0 0 0 = ∫ + − − f t e dt st ，即 [ f (t)] [ f (t)] L− = L+ 当 f (t) 在t = 0 处包含脉冲函数时，则 ( ) 0 0 0 ≠ ∫ + − − f t e dt st ，即 [ f (t)] [ f (t)] L− ≠ L+ 为此，t ≥ 0 的条件扩大为当t > 0及t = 0 的任意一个领域内有定义，定义应为 ∫ +∞ − − − = 0 [ f (t)] f (t)e dt st L 但为了书写方便写为 ∫ +∞ − = 0 [ f (t)] f (t)e dt st L

例4：求单位脉冲函数6)的拉氏变换。 解：6函数的筛选性质∫f)60)t=f0) [6】=j。6)edh=j。6u)ed=∫6u)edh=e|o=1 例5：求函数f)=e6()-aea()(a>0)的拉氏变换。 解：[f=Jf)e"dh=j[eaδ0-ce()e"dh =ja0）es+ard-afeadt =eoal+,fae6arl 当Rs)>-时1-a=S s+a s+a 化简周期函数一般有，对T为周期的函数f(0)即f1+T)=f(),1>0,当在一个周期上 是分段连续时，则有 2o例5d0ea (Re(s)>0) 证明由拉氏变换的定义有 =["f(De-"d=[fDe"di+["f(De-"di 对上式右端第二个积分作变量代换1=1-T,考虑f)的周期性，得 =[()e-"di+[f(e-e-"dn 152

152 例 4：求单位脉冲函数δ (t) 的拉氏变换。 解：δ函数的筛选性质 ∫ +∞ −∞ f (t)δ (t)dt = f (0) ∫ ∫ ∫ +∞ −∞ = + ∞ ∞ − + − − − = = = = = − [ ( )] ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 t st st st st L δ t δ t e dt δ t e dt δ t e dt e 例 5：求函数 ( ) = ( ) − ( ) ( > 0) − − δ α α α α f t e t e u t t t 的拉氏变换。 解： ∫ ∫ + ∞ ∞ − + − − − = = − 0 0 [ f (t)] f (t)e dt [e (t) e u(t)]e dt st α t α t st L δ α ∫ ∫ + ∞ ∞ − + + − + = − 0 0 ( ) ( ) (t) e dt e dt s α t s α t δ α +∞ = − + = − + + = + 0 ( ) 0 ( ) t s t t s t e s e α α α α α α α α + = + − > − s s s R s 1 当 ( ) 时 化简周期函数一般有，对 T 为周期的函数 f (t) 即 f (t + T) = f (t),t > 0，当在一个周期上 是分段连续时，则有 ( ) (Re( ) 0) 1 1 [ ( )] 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st L sT 证明 由拉氏变换的定义有 ∫ ∫ ∫ +∞ − − +∞ − = = + T st T st st [ f (t)] f (t)e dt f (t)e dt f (t)e dt 0 0 L 对上式右端第二个积分作变量代换t 1 = t −T ，考虑 f (t)的周期性，得 ∫ ∫ +∞ − − − = + 0 1 1 0 1 [ f (t)] f (t)e dt f (t )e e dt st sT T st L

第六章拉氏变换 =[f(D)e"d+e" 从而证得 TUoIdjeh 如：0=包10在1>0时，是以2r为周期的函数。即 ft+2π)=ft),1>0 reo-0l1-dl0eh"1-dl5aeu neh-k-专me。一广ose的 cosecosesinte fosinte "d=I+eIe s232+152+1 所以Lf】= 11+es 11 1-e2m52+1s2+11-ea 153

第六章 拉氏变换 153 ( ) [ ( )] 0 f t e dt e f t sT T st L − − = + ∫ 从而证得 f t e dt e f t T st sT ∫ − − − = 0 ( ) 1 1 L [ ( )] 如： ⎩ ⎨ ⎧ 0 时，是以 2π 为周期的函数，即 f (t + 2π ) = f (t),t > 0 te dt e f t e dt e F s f t st s st s ∫ ∫ − − − − − = − = = π π π π 2 0 2 2 0 sin 1 1 ( ) 1 1 ( ) L [ ( )] 而 cos ] 0 [sin 1 [ sin ] 1 sin 0 0 0 te dt t te s tde dt s te dt st st st st ∫ ∫ ∫ − − − − − − = = − = π π π π sin ] 0 [cos 1 cos 1 1 0 2 0 te dt t te s tde s s st st st ∫ ∫ − − − + = = − − = ⋅ π π π te dt s s s e st s ∫ − − = + − π π 2 2 2 0 sin 1 1 1 1 1 1 sin 2 2 2 0 2 + + = + ⋅ + = − − − ∫ s e s s s e te dt s s st π π π 所以 s s s s s e e e f t π π π − − − − ⋅ + = + + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ( )] 2 2 2 L

4.利用现有表查表求拉氏变换 如：2[e*-e21P2733-2 23式(s-3(s-2)(s-3s-2) 又如：疗c@s创-snb创的拉氏安换。 由于疗cosb1-snb创=g*(方osM-方n0 =e"(sin牙cosM-cos7snb0） =esm经-=e*sn-加+孕 根据附录Ⅱ中(P273)第21式，a=-b,c=元时，可以得到 若sw-m-2ma到 g+bsm子+(-beo子 (s+b)2+(-b)2 2s2+2bs+262) 作业：P1921(1,4),2(1,3) 154

154 4．利用现有表查表求拉氏变换 如： ( 3)( 2) 1 ( 3)( 2) 3 2 23 273 [ ] 3 2 − − = − − − − s s s s P e e t t 式 L 又如： (cos sin ) 2 bt bt e bt − − 的拉氏变换。 由于 sin ) 2 1 cos 2 1 (cos sin ) ( 2 bt bt e bt bt e bt bt − = − − − ) 4 ) sin( 4 sin( sin ) 4 cos cos 4 (sin π π π π = − = − + = − − − − e bt e bt e bt bt bt bt bt 根据附录Ⅱ中(P273)第 21 式， 4 , π a = −b c = 时，可以得到 ) ] 4 (cos sin )] [sin( 2 [ π − = − + − bt bt bt e bt L L 2 2 ( ) ( ) 4 ( ) cos 4 ( )sin s b b s b b + + − + + − = π π 2( 2 2 ) 2 2 2 s bs b s + + = 作业： P192 1(1,4)，2 (1,3)

第六章拉氏变换 课题：拉氏变换的性质 章节：§6.2拉氏变换的性质课时：4 上课时段：2005-12-5~12-9 重点：线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质 要求：灵活掌握线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质，会利用他们求函数的 拉氏变换，理解用拉氏变换的某些性质求一些函数的广义积分。 内容： 1、线性性质 若a,B是常数，里[f(]=E(s),[f()]=E(s) af(1)+Bf(1)]=a(]+B(1)]=aF(s)+BF2(s) [aF(s)+BF2(s)]=aF(s)]+B[F2(s)] 数2e61=21g1产0-司 收敛域：Re(s)>3 2。相似性质 若[f]=F(s),则对任一常数a>0有 (-F 证明far】=fare"dh =fe中=Fr月 3、微分性质 若[f】=F(s),则[f']=sF(s)-fO) 155

第六章 拉氏变换 155 课题：拉氏变换的性质 章节：§6.2 拉氏变换的性质 课时：4 上课时段：2005-12-5~12-9 重点：线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质 要求：灵活掌握线性性质、相似性质、微分性质、位移性质、延迟性质，会利用他们求函数的 拉氏变换，理解用拉氏变换的某些性质求一些函数的广义积分。 内容： 1、线性性质 若α，β是常数， [ ( )] F ( ) , [ ( )] F ( ) 1 1 2 2 L f t = s L f t = s [ F ( ) F ( )] [F ( ) ] [F ( )] [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] F ( ) F ( ) 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ⎭ ⎬ ⎫ + = + + = + = + − − − s s s s f t f t f t f t s s L L L L L L α β α β α β α β α β 如： ( 3)( 2) 1 2 1 3 1 [ ] [ ] [ ] 3 2 3 2 − − = − − − − = − = s s s s e e e e t t t t L L L 收敛域： Re(s) > 3 2．相似性质 若L [ f (t)] = F(s) ，则对任一常数 a > 0 有 ( ) 1 [ ( )] a s F a L f at = 证明 ∫ +∞ − = 0 [ f (at)] f (at)e dt st L ( ) 1 ( ) 1 0 a s F a f x e dx a x a s x at = ∫ 令 = +∞ − 3、微分性质 若L [ f (t)] = F(s) ，则L [ f ′(t)] = s F(s) − f (0)

证明：f"=∫。f')e"d1 对右端积分利用分部积分法，可得 fu1=∫。foe"d=j。e"df0=fuel+。fue"dt =s乎[f]-f(O)(Re(s)>c),c为某一常数。 所以[f"()】=sF(s)-f(O) 推论若乎[fu]=Fs),则 Lf(】=sFs)-sk-f0)-s-2f"(0)-fk-(0)(R(s)>c) 特别，当初始值f(0)=f'(0)=.=-(0)=0时，有 Lf'(】=sF(s) 里[f"]=s2F(s) [f】=sF(s) 例1求函数f(t)=sinkt的拉氏变换 解：由于f(0)=sin0=0,f"(0)=k coskr==k,f"()=-k2 sinkr 则[-k2sin=[f"(]=s2[f()]-yf(0)-f'"(0) 即-k2[sink]=s2里[sink]-k 移项化简得 25imk个=2+R k (Re(s)>0) 例2：求函数f)=1m的拉氏变换，其中m是正整数 解：由于f(0)=f"(0)=f"(0)=.=fm-(0)=0 而fm()=m 156

156 证明： [ ( )] ( ) d ∫ 0 +∞ − f ′ t = f ′ t e t st L 对右端积分利用分部积分法，可得 ∫ ∫ ∫ +∞ +∞ − = − +∞ − +∞ − ′ = ′ = = + 0 0 0 0 [ f (t)] f (t)e dt e d f (t) f (t)e s f (t)e dt st t st st st L = sL [ f (t)] − f (0) (Re(s) > c)，c 为某一常数。 所以L [ f ′(t)] = s F(s) − f (0) 推论 若L [ f (t)] = F(s) ，则 [ ( )] F( ) (0) (0) (0) (Re( ) ) ( ) 1 2 ( 1) f t s s s f s f f s c k k k k k = − − ′ − − > − − L − L 特别，当初始值 (0) (0) (0) 0 ( 1) = ′ = = = k− f f L f 时，有 L [ f ′(t)] = s F(s) [ ( )] F( ) 2 L f ′′ t = s s M [ ( )] F( ) ( ) f t s s k k L = 例 1 求函数 f (t) = sin kt 的拉氏变换 解：由于 f f k kt k f t k kt t (0) sin 0 0, (0) cos , ( ) sin 2 = = ′ = =0 = ′′ = − 则 [ sin ] [ ( )] [ ( )] (0) (0) 2 2 L −k kt = L f ′′ t = s L f t − sf − f ′ 即 − k [sin kt] = s [sin kt] − k 2 2 L L 移项化简得 [sin ] (Re( ) 0) 2 2 > + = s s k k L kt 例 2：求函数 m f (t) = t 的拉氏变换，其中 m 是正整数。 解： 由于 (0) (0) (0) (0) 0 ( 1) = ′ = ′′ = = = m− f f f L f 而 ( ) ! ( ) f t m m =

第六章拉氏变换 所以 [m=[fm=s"[f-sm-f0)-sr-2f'0-fm-(0) 即史[m]=s"里u] 而m则]=me"d=m刊=m 所以21 (Re(s)>0) 象函数的微分性质： (s)=F(s)=-(). Re(s)>c ds 一般有F(s)=2[(-1)”fu), Re(s)>c 例3：求函数f(U)=tcosk:的拉氏变换。 解：因为[0s=g子+k S 里[t coskt]= 1c2到. d s (62+k2y262+k27 同理可得[t sin k]= 2ks (62+62)2 4.积分性质 若[fI】=F(s) 则可6f0]=Fs) 证明：设h)=6f0) 则有 157

第六章 拉氏变换 157 所以 [ !] [ ( )] [ ( )] (0) (0) (0) ( ) −1 −2 ( −1) = = − − ′ − − m m m m m L m L f t s L f t s f s f L f 即 [ !] [ ] m m L m = s L t 而 s m m m e dt m st ! [ !] ! ! [1] 0 = ∫ = = +∞ − L L 所以 (Re( ) 0) ! [ ] 1 = > + s s m t m m L 象函数的微分性质： s s tf t s c ds d F( ) = F′( ) = L [− ( )], Re( ) > 一般有 s t f t s c n n F ( ) = [(− ) ( )], Re( ) > ( ) L 例 3： 求函数 f (t) = t cos kt 的拉氏变换。 解： 因为 2 2 [cos ] s k s kt + L = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) [( ) (2 )] [ cos ] [ ] s k s k s k s k s s s k s ds d t kt + − = + − + − = + L = − 同理可得 2 2 2 ( ) 2 [ sin ] s k ks t kt + L = 4．积分性质 若 L [ f (t)] = F(s) 则 F( ) 1 [ ( ) ] 0 s s f t dt t = L ∫ 证明：设h t f t dt t = ∫0 ( ) ( ) 则有