复旦大学：《卫生统计学》理论课程教学资源（PPT授课课件）13 Poisson分布资料的统计检验分析

Poisson分布的统计 分析

Poisson分布的统计 分析

内容 Poisson分布的概念与特性 2 Poisson分布总体均数的估计 3 Poisson分布样本均数与总体均 数的比较 4> Poisson分布两样本均数的比较 5 STATA计算

内容 1 Poisson分布的概念与特性 Poisson分布样本均数与总体均 数的比较 3 4 Poisson分布两样本均数的比较 5 STATA计算 2 Poisson分布总体均数的估计

Poisson分布的概念 描述所观察到的某事件发生次数x的概率 对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的 ☆罕见事件:z人 rn很大,而A1不大;x→0 细分 格子数n→>∞ 有限格子2中有 细菌 L水 每个格子的大小恰x、儿x→>0 好能容纳一个细菌

Poisson分布的概念 ❖ 描述所观察到的某事件发生次数x的概率 ❖ 对于观察单位充分小的情况下某事件发生是非常罕见的 ❖ 罕见事件: ,n很大,而 不大, x n   =  →0 每个格子的大小恰 好能容纳一个细菌 1L水 细分 格子数 n → 有限格子 中有 细菌  x 0 x n   = →  x

什么是 Poisson分布 今 Poisson分布主要用于描述在单位时间(空间) 中某种事件发生数的概率分布 放射性物质在单位时间内的放射次数 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 野外单位空间中的某种昆虫数 显然, Poisson分布也是一种离散型随机变量的 分布

什么是Poisson分布 ❖Poisson分布主要用于描述在单位时间（空间） 中某种事件发生数的概率分布 ▪ 放射性物质在单位时间内的放射次数 ▪ 在单位容积充分摇匀的水中的细菌数 ▪ 野外单位空间中的某种昆虫数 ❖显然，Poisson分布也是一种离散型随机变量的 分布

什么是 Poisson分布 今可以认为满足以下三个条件的随机变量服从 Poisson分布: 平稳性:X的取值与观察单位的位置无关,只 与观察单位的大小有关 独立性:在某个观察单位上Ⅹ的取值与前面各 观察单位上X的取值独立(无关) 普通性:在充分小的观察单位上X的取值最多 为1 今实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步

什么是Poisson分布 ❖可以认为满足以下三个条件的随机变量服从 Poisson分布： ▪ 平稳性：X的取值与观察单位的位置无关，只 与观察单位的大小有关 ▪ 独立性：在某个观察单位上X的取值与前面各 观察单位上X的取值独立（无关） ▪ 普通性：在充分小的观察单位上X的取值最多 为1 ❖实际上可以看作是在二项分布要求上更进了一步

什么是 Poisson分布 今 Poisson分布的概率分布规律 X取值范围为非负整数,即0,1,… 其相应取值概率为 P(X=k= k! 式中e:自然对数的底,e≈2.7182;是大于0的 常数。 X服从以μ为参数(X的总体均数)的 Poisson分 布可记为X~P()

什么是Poisson分布 ❖Poisson分布的概率分布规律 ▪ X取值范围为非负整数，即0,1,…； ▪ 其相应取值概率为 ▪ 式中e：自然对数的底，e≈2.7182；是大于0的 常数。 ▪ X服从以为参数（X的总体均数）的Poisson分 布可记为X～P() ( )  − = = e k P X k k !

Poisson分布的特性 今 Poisson分布的均数与方差 由 Poisson分布计算概率公式可见 Poisson分布 只有一个参数μ。这个参数就是 Poisson分布的 总体均数。不同的总体均数对应于不同的 Poisson分布 总体方差也等于此参数μ 这是 Poisson分布的特性

Poisson分布的特性 ❖Poisson分布的均数与方差 ▪ 由Poisson分布计算概率公式可见Poisson分布 只有一个参数 。这个参数就是Poisson分布的 总体均数。不同的总体均数对应于不同的 Poisson分布 ▪ 总体方差也等于此参数 • 这是Poisson分布的特性

Poisson分布的特性 今 Poisson分布的可加性 如果X1,X2,…,Xk相互独立,且它们分别服从 Poisson分布,则T=×1X2+…+也服从 Poisson 分布,其参数为原各参数之和μ1+μ2+…+μ 今正态分布与 Poisson分布的关系 ■只取决于均数,均数很小时分布很偏,当均数增加 时,逐渐趋于对称 当均数μ越来越大时, Poisson分布逐渐逼近于均 数为μ,方差为μ的正态分布。据此性质,均数较 大的 Poisson分布可按正态分布近似计算

Poisson分布的特性 ❖Poisson分布的可加性 ▪ 如果X1 , X 2 , …, X k相互独立，且它们分别服从 Poisson分布，则T= X1+ X2+…+ Xk也服从Poisson 分布，其参数为原各参数之和1+ 2+…+ k ❖正态分布与Poisson分布的关系 ▪ 只取决于均数，均数很小时分布很偏，当均数增加 时，逐渐趋于对称 ▪ 当均数越来越大时，Poisson分布逐渐逼近于均 数为，方差为的正态分布。据此性质，均数较 大的Poisson分布可按正态分布近似计算

Poisson分布的特性 0.20 0.15 0.15 0.10 0.00 0 5 10 15 u=3 μ 0.15 0.08 0.10 概 0.04 0.05 025 1015 25303540 20

Poisson分布的特性 ＝3 ＝5 ＝10 ＝20

Poisson分布的特性 Poisson分布与二项分布的关系 n设X~B(n,π),则当n→∞且nπ保持不变时,可以 证明X的极限分布是以n为参数的 Poisson分布 由以上性质可得,当n很大,π很小时,二项分布近 似 Poisson分布。当n很大时,二项分布概率的计 算量相当大。因此可以利用二项分布的 Poisson近 似这一性质,当n很大且π很小时,可以用 Poisson 分布概率计算替代二项分布的概率计算

Poisson分布的特性 ❖Poisson分布与二项分布的关系 ▪ 设X～B (n ,  )，则当n→∞且n保持不变时，可以 证明X的极限分布是以n 为参数的Poisson分布 ▪ 由以上性质可得，当n很大，很小时，二项分布近 似Poisson分布。当n很大时，二项分布概率的计 算量相当大。因此可以利用二项分布的Poisson近 似这一性质，当n很大且很小时，可以用Poisson 分布概率计算替代二项分布的概率计算