《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§7.4 常系数线性差分方程的求解

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新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §7.4 常系数线性差分方程 的求解

解法 1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 4.z变换法→反变换→yn)

X 第 2 解法 页 1.迭代法 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 2.时域经典法：齐次解+特解 4. z变换法→反变换→y(n)

一.迭代法 解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系， 但得不到输出序列n的解析式 侧题

X 第 3 一．迭代法 页 解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系， 但得不到输出序列y(n)的解析式

时域经典法 1.齐次解：齐次方程的解 (-gn-)=0 但起始状态(，(2)(N不能全为零 智用品 说明yn)是一个公比为a的几何级数，所以 y(n)=Ca" 或由特征方程r-a=0,可得r=4 指数形式 (n)=Cr”=Ca 合D通

X 第 4 二．时域经典法 页 1.齐次解：齐次方程的解 y(n)− ay(n−1) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a y n y n y y y y y = − = = = − −  0 1 1 1 0 1 0,  ( ) n y n = Ca 指数形式 但起始状态y(−1), y(− 2), y(− N)不能全为零 说明 y(n)是一个公比为 a的几何级数 , 所以 或由特征方程 r − a = 0,可得r = a ( ) n n y n = Cr = Ca

求待定系数C由边界决定 设(-1)=2，代入原方程，令=0 y0=(-1)=2 由方程解y(n) y0)=Ca°=C 所以C=2 齐次解 y()=2a” 求差分方程齐次解步骤 差分方程→ 特征方程→特征根→ J(m)的解析式→由起始状态定常数

X 第 5 求待定系数 页 C由边界决定 y(0) = ay(−1) = 2 ( ) , 代入原方程， 2 1 a 设y − = 令n = 0 由方程解 y(n) y( ) = Ca = C 0 0 所以C = 2 ( ) n y n = 2a 齐次解 求差分方程齐次解步骤 差分方程→ 特征方程→特征根→ y(n)的解析式→由起始状态定常数

根据特征根，解的三种情况 1无重根1≠r≠.≠rn阶方程 y(n)=C(n)"+C(r"+.+C,(ry 创题 2.有重根 刨题 3.有共轭复数根 创题

X 第 6 根据特征根，解的三种情况 页 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n y n = C r +C r ++C r 1 1 2 2 1.无重根 r1  r2   rn n阶方程 2.有重根 3.有共轭复数根

2.特解 倒题 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 输入 输出 x(n)=em y(n)=Ae x(n)=eian y(n)=Aeio xn)=cos(@n) y(n)=Acos(@n+0) x(n)=sin(@n) y(n)=Asin(@n+0) x(n)=nk y(n)=Agnk Ain++An+Ao x(n)=A y(n)=C x(n)=(r)" y(n)=C(r)" x(n)=(ry(r与特征根重) y(n)=C(r)"+C2(ry

X 第 7 页 2.特解 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 ( ) an x n = e ( ) an y n = Ae ( ) n x n j = e ( ) n y n A j = e 输入 输出 x(n) = cos( n) y(n) = Acos( n+ ) x(n) = sin( n) y(n) = Asin( n+ ) ( ) k x n = n ( ) 1 0 1 y n A n A 1 n A n A k k k = k + + + + − −  x(n) = A y(n) = C ( ) ( ) n x n = r ( ) ( ) n y n = C r ( ) ( ) n x n = r ( ) ( ) ( ) n n y n C n r C r （r与特征根重） = 1 + 2

三，零输入响应+零状态响应 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 齐次解：C(cy” C由初始状态定（相当于0的条件) 创题 2.零状态响应：初始状态为0，即 (1)=y(2)==0 经典法：齐次解+特解 求解方法 卷积法 合UD

X 第 8 三．零输入响应+零状态响应 页 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 C由初始状态定（相当于0-的条件） ( ) n 齐次解： C r 2.零状态响应：初始状态为0，即 y(−1) = y(− 2) =  = 0 求解方法 经典法：齐次解+特解 卷积法