《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）§6.3 信号的正交函数分解

心号与系型 §6.3信号的正交离数分解 矢量的正交分解 正交函数 正交函数集 。复变函数的正交特性 新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 退出 开始

新疆大学信息科学与工程学院电子系 2003.1 §6.3 信号的正交函数分解 •矢量的正交分解 •正交函数 •正交函数集 •复变函数的正交特性

信号分解的目的 ●将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号 的特性。 ●简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和 0=2e0 i=0 e) H 0-te含0-40

X 第 2 页 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号 的特性。 简化系统分析与运算， 总响应=单元响应之和。 信号分解的目的 ( )  ( ) = = n i i e t e t 0 e (t) i H r (t) i ( )  ( )  ( )  ( ) = =  =      = = n i i n i i r t H e t H e t r t 0 0

矢量的正交分解 用表示，方式不是惟一的： 7=c2+, 2+V2 =C =c2V2+ 怎样分解，能得到最小的误差分量？ 1,=c+.白误差铁量 cn2V2 =V cos(VAV2) =cos(VA2)_Y,csAV)_· C12= V VV2 1系数 7·72=0 即C2=0 两矢量正交

X 第 3 页 Ve V2   ⊥ V Ve V c    1 = 12 2 + 误差矢量 cos( ) 12V2 V1 V1 V2 c   =  2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 cos( ) cos( ) V V V V V V VV V V V V V V c           =  =  = 系数 V1 V2 = 0   两矢量正交 怎样分解，能得到最小的误差分量？ 即 c12 = 0 V1  V2  1 V2 c  Ve1  Ve2  Ve  2 V2 c  1 2V2 c  V1 用V2 表示， 方式不是惟一的：   1 1 V2 Ve1 V c    = + 一．矢量的正交分解 V Ve c   = 12 2 + 2 V2 Ve2 c   = +

正交分解 平面中任一矢量可分解为xy二方向矢量。 空间中任一矢量可分解为xy,z三方向矢量。 ·一个三维空间矢量V=x+ⅵ+h,必须用三个正交 的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： 7≈xi+i,。=zh≠0

X 第 4 正交分解 页 •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。 •平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。 •一个三维空间矢量 ，必须用三个正交 的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差： V xi yj zh     = + + V  xi + yj, V = zh  0 e     

二.正交函数 在区间1<t<t2内，信号断d用f,G表示，即 f1(t)≈C2f2(t) 误差 -r)-oa 为求使最小的c2,必需使6=0，求得系数 dC12 )20d（@ 例题 C12 倒题 心radt (f2(t),f2(t〉 若c12=0,则f1(),f2()称为正交函数，满足 ()f.0dt=0

X 第 5 二．正交函数 页 在区间(t 1  t  t 2 )内，信号f1 (t)用f 2 (t)表示，即 ( ) ( ) 1 12 2 f t  c f t 误差  ( )  − − = = 2 1 ( ) d 1 ( ) 2 1 2 2 2 1 2 2 t t e f t c f t t t t ε f t 为求使 最小的 必需使 0,求 得 d d , 1 2 2 1 2 2 = c c   f t f t f t f t f t t f t f t t c t t t t ( ), ( ( ), ( ( )d ( ) ( )d 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 =  =   若c12 = 0，则f1 (t), f 2 (t)称为正交函数，满足 ( ) ( )d 0 2 1 1 2 =  f t f t t t t 系数

三.正交函数集 任意信号f)可表示为n维正交函数之和： f0=c18④+c8,0+c,8-0++c8.@=∑c,8,(0 r= 原函数 近似函数 83湘互正交 0g,0 C,= 基底函数r=0,1,2,n u 8,(④8，@d= 0, i≠i Ki> feag.0ar Kr gd)g2(d)g,(d)正交函数集 = ≤8(t)8(t)>

X 第 6 三．正交函数集 页 任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和： = = + + + + = n r r r n n r r f t c g t c g t c g t c g t c g t 1 1 1 2 2 ( )  ( ) ( )  ( )  ( ) ( ) 原函数 近似函数 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )d ( )d ( ) ( )d 2 1 2 1 2 1 2     = = =    g t g t f t g t K f t g t t g t t f t g t t c r r r r t t r t t r t t r r g1 (t), g2 (t)gr (t)相互正交：    =   =  K i j i j g t g t t i t t i j , 0, ( ) ( )d 2 1 基底函数 r =0,1,2,.n g1 (t), g2 (t)gr (t)正交函数集

分解原则是误差函数方均值最小 -ew40-.Fa f。 误差信号能量 误差信号功率 =0可得c表达式

X 第 7 分解原则是误差函数方均值最小 页 [ ( ) ( )] d 1 ( ) 2 1 1 2 1 2 2 2 误差信号功率 误差信号能量 e t t n r e r r f f t c g t t t t f t  = − −  = = 令 可 得 r 表达式 r n c C C C C 0, 0, , 0, , 0 2 2 2 2 1 2 = = = =              

理解 fog,dtfe)g,(0di C. g,④di K 此公式是个通式，适合于任何正交函数集。 C1,c2,是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函 数集是正交函数

X 第 8 理解 页 r t t r t t r t t r r K f t g t t g t t f t g t t c    = = 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )d ( )d ( ) ( )d 2 •正交函数集规定： 所有函数应两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函 数集是正交函数。 • 是相互独立的，互不影响，计算时先抽取 哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 n c ,c , c 1 2 •此公式是个通式，适合于任何正交函数集

总结 两周期信号在同一周期内同区间内)正交的条件是 C12=0,即： JJ05,0ar=0 ·对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交。 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号

X 第 9 页 • 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是 c12=0，即： 总结 1 ( ) 2 ( )d = 0 T f t f t t • 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一 信号。 • 对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定 满足正交

四.复变函数的正交特性 两复变函数在区，2内相互正交的条件是 f0J0d=50广0=0 若在区间，i内，复变函数巢g,(dXr=1,2,n)满足关系 eg0dr==x 2g0gj0dt=0 i≠方 则此复变函数集为正交函数集。 用g,(t)}(r=0,1,2.,m)表示f(t),求系数 roswdr c sosOd gr(t)为g,(t)的共轭

X 第 10 四.复变函数的正交特性 页 g t g t t g t g t i j i j t t i j =   =   ( ) ( )d ( ), ( ) 0 2 1 * i i i t t gi t gi t t =  g t g t  = K  ( ) ( )d ( ), ( ) 2 1 * 用gr (t),(r = 0,1,2 ,n)表示f (t),求系数 , ( )为 ( )的共轭 ( ) ( )d ( ) ( )d 2 1 2 1 g t g t g t g t t f t g t t c t r r t r r t t r r      = 则此复变函数集为正交函数集。 ( ) ( )d ( ) ( )d 0 2 1 2 1  1  2 =  2  1 =   t t t t f t f t t f t f t t 若在区间(t 1 ,t 2 )内，复变函数集gr (t)(r = 1,2,  ,n)满足关系 两复变函数在区间(t 1 ,t 2 )内相互正交的条件是