南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.3 齐次方程

1.定义： 如果一阶微分方程可化为少=凸，则称这方程为齐次方程。 d 例1：下列方程哪些是齐次方程？ (1)(xy-y2)d-(x2-2xy)d=0 (2)x h时 (3)V1-x2y=√-y2」 (4)(x2+y2)dk-xvy=0

1.定义： 如果一阶微分方程可化为 ( ) dy y dx x  ，则称这方程为齐次方程 例 1：下列方程哪些是齐次方程？ (1) 2 2 ( ) ( 2 ) 0 xy y dx x xy dy     (2) ln dy y x y dx x  (3) 2 2 1x y   1 y  (4) 2 2 ( ) 0 x y dx xydy   

2.齐次方程的解法： 第-步：作变换：=士即y=则齐次方程尖的变为+x侧 第二步：分离变量得 du _dx p(0）-wx 第三步： 两端积分∫x∫空.得G=F+C 第四步：将4=士代入G)=P()+C,便得所给齐次方程的通解 例4 解方程2+2少 d d 例5求方程 少= dx x+y

第一步：作变换 x y u 即 y ux  则齐次方程 ( ) x y dx dy  变为 (u) dx du u x  第二步：分离变量得 x dx u u du  ( ) 第三步： 两端积分     x dx u u du ( )  得G u F x C ( ) ( )   2. 齐次方程的解法 第四步：将 y u x  代入G u F x C ( ) ( )   ， 便得所给齐次方程的通解 例 4 解方程 dx dy xy dx dy y x  2 2  例 5 求方程 dy x dx x y   