南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第五章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质

第一节定积分的概念与性质 问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质

第一节 定积分的概念与性质 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质

问题的提出：怎么求不规则几何图形的面积？ 化整为零化不规则为规则物罐方法 曹冲称象法 v=x2 爱迪生测灯泡法 求极限 一天， 巴一只灯泡交给他的助手阿普 顿，要他 4=im∑矩形容积，阿普顿拿着灯炮琢磨 了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一 阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列 了许多道算式，算来算去还未有个结果。爱迪生见他 算得满头大汗，就对他说：“我的上帝，你还是用这 个方法算吧！”他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说： “把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡 的容积了

面积=? 0 a 曲边三角形 y=x2 怎么求不规则几何图形的面积? 曹冲称象法 爱迪生测灯泡法 化整为零 化不规则为规则 数学方法 物理 求极限 一天，发明家爱迪生把一只灯泡交给他的助手阿普 顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着灯炮琢磨 了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一 阵，又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列 了许多道算式，算来算去还未有个结果。爱迪生见他 算得满头大汗，就对他说：“我的上帝，你还是用这 个方法算吧！”他在灯泡里倒满了水递给阿普顿说： “把这些水倒进量杯里，看一看它的体积，就是灯泡 的容积了。” 一、问题的提出：   n i A i 1 矩 形   n i A i 1 lim 矩 形

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与 曲边三角形面积的关系

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与 曲边三角形面积的关系．

结论：曲边三角形的总面积A=im 小矩形： i=1

  n i A i 1 结论： 曲边三角形的总面积 lim 小矩形

用矩形面积近似取代曲边梯形面积 左矩形 右矩形 0 L 任一个矩形 曲边梯形的面积 A≈ ∑小矩形， i= 0 L 4=lim 矩形 i=1 显然，当分割无限加细时，这三个图的逼近效果是 一样的，即矩形总面积越来越接近曲边梯形面积

a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，当分割无限加细时，这三个图的逼近效果是 一样的，即矩形总面积越来越接近曲边梯形面积． a b x y o a b x y o 左矩形 右矩形 任一个矩形   n i A i 1 小矩形 曲边梯形的面积   n i A i 1 lim 矩形