南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第五章 定积分及其应用 5.2 微积分基本公式

第二节 微积分基本公式

第二节 微积分基本公式

一、引例 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[工，T,]内经过的路程为 vdt=s()-s() 这里s()是v()的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t)  v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T    这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

二、原函数存在定理 1:积分上限函数 定义：若函数fx)在[a,b]上连续，则r∈[a,b] (cx)=∫if0)dt 是一个关于以X为自变量的函数 y=f(x) 我们把这个函数称为积分上限函数

二、原函数存在定理 a b x y o y  f (x) x x 1：积分上限函数 定义：若函数 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，则  x a b [ , ] ( ) ( ) x a   x f t dt  是一个关于以 x 为自变量的函数 我们把这个函数称为积分上限函数

二、原函数存在定理 2. 积分上限函数的性质 定理1：若函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限函数 y=f(x) (x)=f()di 在[a,b]上可导，且 0 b )么eh=)(asxs6) 在端点x=a,b处，分别考虑右导数和左导数

a b x y o y  f (x) x ( ) ( ) x a   x f t dt  定理 1：若函数 f x( )在[ , ] a b 上连续，则积分上限函数 在端点 x a b  , 处，分别考虑右导数和左导数. 二、原函数存在定理 在 [ , ] a b 上可导，且 ( ) ( ) ( ) x a d x f t dt f x dx      （a x b   ） (x) 2. 积分上限函数的性质

二、原函数存在定理 推论1：若函数fx)在[a,b上连续，x∈[a,b,则 (2) 4Co刘=-fe) 推论2：（1)若函数f(x)在a,b1上连续 (2)o(x)在[a,B上可微，x∈[a,B1时，有p(x)∈[a,b], 则 4."eajFnwpw

二、原函数存在定理 (1)   ( ) ( ) x a d f t dt f x dx dx   . 推论 1：若函数 f x( )在[ , ] a b 上连续， x a b [ , ], 则 （2）   ( ) ( ) b x d f t dt f x dx    推论 2：（1）若函数 f x( )在[ , ] a b 上连续 （2） ( ) x 在 [ , ]   上可微， x[ , ]   时，有 ( ) [ , ] x a b  ， 则   ( ) ( ) [ ( )] ( ) x a d f t dt f x x dx     

二、原函数存在定理 推广3：（1)若函数fx)在[a,b]上连续， (2)g(x,p,()在[a,B上可微，x∈[a,B]时，有g(x),g,(x)∈[a,b], 则 &afed）=nasa)-na(eae

二、原函数存在定理 推广 3：（1）若函数 f x( )在[ , ] a b 上连续， （2） 1 2   ( ), ( ) x x 在 [ , ]   上可微， x[ , ]   时，有 1 2   ( ), ( ) [ , ] x x a b  ， 则   2 1 ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx           

二、原函数存在定理 例1：判断正误 思考 1.42d=2 若(x)=∫f)d则Φ(x)=? 2.层3sn=sm 3.4x=0 A.dS;dr)-eds 52n

1.  0  2 2 x d t x dt dx   2.   0 sin sin x d dt x dx   3.   1 3 0 0 d x dx dx   例 1：判断正误 4 .  0  x t x d e dt e dx   5. 2 5 sin 2sin x d t x dt dx t x          二、原函数存在定理 思考 g x a     x f t dt x   ( ) 若 ( ) ( ) ( ) ? ，则

二、原函数存在定理 ["sint'dt 例2求极限lim x->0 x 解： 显然所求极限为未定式 由罗比达法则可得 [sint'dt （sint'dr lim lim lim sinx2 x>0 x->0 (x3) x>0 3x2 1 lim sinu 1 3u→0 3

例 2 求极限 2 0 3 0 sin lim x x t dt  x  解：显然所求极限为0 0 未定式. 由罗比达法则可得 0 1 sin 1 lim 3 3 u u  u       2 2 2 0 0 3 2 0 0 0 3 sin sin sin lim lim lim 3 x x x x x t dt t dt x x x x          二、原函数存在定理

例3 e-"dt 求lim COSX x-→0 解这是一个零比零型未定式，由洛必达法则 e' lim Jcosx L-lim oe-idt x→0 x2 →0 x2 -e-cx.(-sinx) 0 =lim x→0 2x

例 7 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x     例3 解这是一个零比零型未定式  由洛必达法则 2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x         2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x         x e e x x x 2 1 2 ( sin ) lim 2 cos 0        2 cos 0 ( sin ) lim 2       x x e x x

思考 求由心e'dt+cosd=0所确定的隐函数 对x的导数

思考 0 0 求由    cos 0所确定的隐函数 y x t e dt tdt . dy x dx 对 的导数