南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第七章 微分方程的基本概念 7.7 常系数齐次线性微分方程

第七节 常系数齐次线性微分方程 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法

1 一.二阶常系数齐次线性方程定义 二.二阶常系数齐次线性方程解法 第七节 常系数齐次线性微分方程

一、定义 y"+@y'+@'=0 二阶常系数齐次线性方程 y"+py'+qy=f(x) 二阶常系数非齐次线性方程 2

2 y  py  qy  0 方程 y  py  qy  f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 二阶常系数 齐次线性 一、定义

二、二阶常系数齐次线性方程解法 父”+py'+=0二阶常系数齐次线性方程 设解y=e"其中r为待定常数.将其代入方程，得 (r2+pr+q)ex=0ex≠0， 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根 2=p±VD2-4 2

3 rx y  e 将其代入方程, ( )e 0 2    rx r pr q e  0, rx  故有 0 2 r  pr  q  2 4 2 1,2 p p q r    特征根  y  py  qy  0 二阶 设解 得 特征方程 常系数齐次线性方程 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数

设解y=e其中r为待定常数， 特征根的不同情况决定了方程 y”+py+y=0的通解的不同形式. r2+pr+q=0 特征方程 ※有两个不相等的实根（△>0） 5=+g,=-p-4 2 两个线性无关的特解 y1=enx,v2 =cax, 当 ≠常数 得齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x. 4

4 ※ , 2 4 2 1 p p q r     , 2 4 2 2 p p q r     e , 1 1 r x y  e , 2 2 r x y  两个 特解 y  (  0) y  py  qy  0 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 0 2 r  pr  q  特征方程 r1x e C2e . r2x C1  2 1 y y 常数 线性无关的  得齐次方程的通解为 rx 设解 y  e 其中r为待定常数

设解y=e其中r为待定常数， ※有两个相等的实根（△=0） =3=一 特解为》=e, 一 2≠常数 2 yi 设y2=(x)e,其中u(X)为待定函数. 将y2,2,y%代入到y”+y'+⑩y=0.化简得 W"+(2r+pW'+(2+pr+w=0, =0 =0 知W”=0,取u(x)=x,则y2=xenx, 得齐次方程的通解为y=Cex+C2xex =(C1+C2x)eax. 5

5 ※有两个相等的实根 e , 1 1 r x , y  2 1 2 p r  r   (  0) 一特解为 ( )e . 1 1 2 r x  C  C x 将 y2 , y2  , y2  代入到 (2 ) ( ) 0, 1 2 u  r1  p u  r1  pr  q u  u   0, u(x)  x, e , 1 2 r x y  x y2   常数 1 2 y y y   py   qy  0. 化简得  0  0 设 u(x)e , 1 r x 知 取 则 y  r1x e r x x 1  e 得齐次方程的通解为 C1 C2 rx 设解 y  e 其中r为待定常数. 其中u(x)为待定函数

设解y=e用欧拉(Euer)公式： ※有一对共轭复根 (A<0eix cosx+isinx =a+i邛，Jy1=e=ea+0x=e“(cos+isin) h=a-i邛，2=e2=ea-Br=e(cos-isin) y1,y2为方程y”+y+心=0的两个线性无关的解. 为了得到实数形式的解， 新 乃=20+乃)=ccos 1 1≠常数 合 2=:(Y1-y2)=ecA sin Bx 2i 得齐次方程的通解为y=e“(C1c0s+C2sin). 6

6 ※有一对共轭复根 , r1   i , r2   i ( i ) x e    r x y 2 e 2  (  0) ( ) 2 1 1 1 2 y  y  y x x    e cos ( ) 2 1 2 1 2 y y i y   x x    e sin e ( cos sin ). 1 2 y C x C x x      y1 , y2为方程y   py   qy  0 为了得到实数形式的解, 重 新 组 合 的两个线性无关的解. rx y  e 其中r为待定常数. r x y 1 e 1  ( i ) x e    用欧拉(Euler)公式: x i x ix e  cos  sin 设解 e (cos x isin x) x      e (cos x isin x) x       2 1 y y 常数 得齐次方程的通解为

二阶常系数齐次线性方程Jy”+p少y+心=0 求通解的步骤： (1)写出相应的特征方程r2+pr+q=0 (2)求出特征根 (③)根据特征根的不同情况，得到相应的通解 特征根的情况 通解的表达式 实根≠2 y=Cenx+Ce 实根=2 y=(C]+C2x)ex 复根1,2=ax±邛 y=ec (C]cos Bx+C2 sin Bx)

7 (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征根 二阶常系数齐次线性方程 0 2 r  pr  q  y  py  qy  0 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r  r r x r x y C 1 C 2 e e  1  2 实根 1 2 r  r r x y C C x 2 ( )e  1  2 复根 e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x      求通解的步骤: (3) 根据特征根的不同情况, 得到相应的通解 r1,2    i

由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法， 例1求方程y”+4y'+4y=0的通解 解特征方程r2+4r+4=0 特征根 1=3=-2 故所求通解为 y=(C1+C2x)e-2x. 8

8 称为 求方程 y   4 y  4 y  0的通解. 解 特征方程 4 4 0 2 r  r   2 r1  r2   故所求通解为 y  例1 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 特征方程法. 特征根 ( )e . 2 1 2 x C C x  

例2求方程y”+2y'+5y=0的通解 解特征方程2+2r+5=0 特征根 1,2=-1±2i 故所求通解为 y=e *(C cos2x+C2sin2x). r=a+iB,n=a-iB, 得齐次方程的通解为 y=ea (C cos Bx+C2 sin Bx) 9

9 求方程 y   2 y  5 y  0的通解. 解 特征方程 2 5 0 2 r  r   故所求通解为 y  例2 特征根 e ( cos2 sin2 ). C1 x C2 x x   , r1   i , r2   i e ( cos sin ) 1 2 y C x C x x      得齐次方程的通解为 r 1 2i 1，2   

16y"-24y'+9y=0, 例3解初值问题 5川=4yL=2 解特征方程 16r2-24r+9=0 3 特征根r= （二重根) 所以方程的通解为=(C,+C,)e0 C=4广(4+CxNe) →z=3+c+20 3 →C,=-1特解y=(4-. 10

10 y  例3 解初值问题              4, 2. 16 24 9 0, x 0 x 0 y y y y y 解 特征方程 16 24 9 0 2 r  r   特征根 4 3 r  所以方程的通解为 C1  4 x y C x 4 3 2  (4  )e x y C C x 4 3 2 2 e 4 3 3           4 (二重根) 0 0        C2  1 特解 (4 )e . 4 3 x  y   x 0 0 2 x C C x 4 3 1 2 (  )e