南阳师范学院：《概率统计》课程教学资源（讲稿）四、随机变量的数字特征

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 第四章 随机变量的数字特征 学习目标 理解随机变量的数学期望及方差的概念， 掌握随机变量及其函数的数学期望及方差的求法

School of Maths and Statistics 第四章 随机变量的数字特征 学习目标 理解随机变量的数学期望及方差的概念， 掌握随机变量及其函数的数学期望及方差的求法

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统学院 引例：某7人的高数成绩为90,85,85,80,80， 75,60,则他们的平均成绩为 90+85×2+80×2+75+60 7 -085号050 2 ≈79.3 表示以频率为权重的加权平均

School of Maths and Statistics 引例：某7人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为 90 85 2 80 2 75 60 7 + ×+ ×+ + 12211 90 85 80 75 60 77777 = ×+ ×+ ×+ ×+ × ≈ 79.3 表示以频率为权重的加权平均

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 第一节数学期望 离散型随机变量 设离散型随机变量的概率分布为 P(X=xx)=Pk k=1,2,… 若级数∑Px绝对收敛， 则称此级数为 随机变量X的数学期望，记作E(X),即 E0=P+px+pX+=∑Px

School of Maths and Statistics 第一节 数学期望 ( ) 1, 2, PX x p k = k k = = L 设离散型随机变量的概率分布为 若级数 绝对收敛， 则称此级数为 k k k ∑ p x 随机变量 X的数学期望，记作 E （ X），即 离散型随机变量 11 2 2 ( ) k k k k k E X px px p x p x = + + += L L ∑

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统计学院 例1已知随机变量X的分布律： X 5 6 P 1/4 1/2 1/4 求数学期望E(X). 1 1 解E(X)=4×+5×+6×=5 42

School of Maths and Statistics X P 4 1/4 5 1/2 6 1/4 例1 已知随机变量X的分布律： 求数学期望E（X）. 解 111 ()4 5 6 5 424 E X = × +× +× =

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 连续型随机变量 设连续型随机变量X的概率密度为f(),则 若广义积分f(x)绝对收敛，则称此积分为 X的数学期望 即 E(X)=∫xfx)dk

School of Maths and Statistics 连续型随机变量 设连续型随机变量X的概率密度为 f (x), 则 xf x dx ( ) X +∞ ∫−∞ 若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 的数学期望 即 EX x ( ) () f x dx +∞ −∞ = ∫

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统计学院 例2己知随机变量X的密度函数为 求其数学期望. x≥1 解E(X)=∫f(x)d =0+小0山

School of Maths and Statistics 例2 已知随机变量X的密度函数为 2 1 , 1 ( ) 1 0, 1 x f x x x π ⎧ < ⎪ = ⎨ − ⎪ ≥ ⎩ E X xf x dx ( ) () +∞ −∞ = ∫ 解 求其数学期望. 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 x dx x dx x dx π x − +∞ −∞ − = ⋅⋅ + + ⋅⋅ − = ∫∫ ∫

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 E(X)的意义反映了随机变量X取值的“概率平均”，是 X的可能值以其相应概率的平均. 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 x 在E(X附近摆动 x≈E(X 因此，数学期望又可以称为期望值，均值

School of Maths and Statistics 试验次数较大时，X的观测值的算术平均值 在E(X)附近摆动 x x EX ≈ ( ) 因此，数学期望又可以称为期望值，均值. E(X)的意义 反映了随机变量X取值的“概率平均”,是 X的可能值以其相应概率的平均

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统学院 (X,Y)为二维离散型随机变量 E(X)=∑xP{X=x}=∑xP.=∑∑XP) E(Y)=∑y,PY=y}=∑yP,=∑∑y,P (X,Y)为二维连续型随机变量 E(X)=[xf (x)dx =xf(x,y)dxdy. E(Y)=yf(y)dy =yf(x.y)dxd

School of Maths and Statistics (X,Y)为二维离散型随机变量 . () { } i i ii iij i i i j E X xP X x xp xp = == = ∑ ∑ ∑∑ . () { } j j j j jij j j j i EY yPY y y p y p = == = ∑ ∑ ∑∑ ( ) () (, ) , EX x Xf x dx x f x y dxdy +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫∫ () () ( , ) E Y y f y dy y f x y dxd Y y +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ = = ∫ ∫∫ (X,Y)为二维连续型随机变量

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与镜计学院 例3设（仪，Y)的联合密度为 f(x,)=0 ay,x∈[0,1，y∈[1,3] ,其它 (1)求k (2) 求X和Y的边缘密度； (3) 求E(X),E(Y):

School of Maths and Statistics 例 3 设(X,Y)的联合密度为 , [ , ], [ , ] (, ) kxy x y f xy ⎧ ∈ ∈ = ⎨ ⎩ 01 13 0 , 其它 (1) 求 k； (2) 求 X 和 Y的边缘密度； (3) 求E(X), E(Y)

南阳师范学院 Nanyang Normal University 数学与统学院 解 (1)由 ∫rfx,yadd=l1 购=422k-l 所以 k= 2 (2)x∈[0,1]时 f(2x 所以f(0 x,x∈[0,1] ,其它

School of Maths and Statistics = k k ⋅⋅ = = 1 4 21 2 1 2 k = () (, ) Xf x f x y dy +∞ −∞ = ∫ = xydy x = ∫ 3 1 1 2 2 [,] ( ) X x x f x ⎧ ∈ = ⎨ ⎩ 2 01 0 ， ，其它 f x y dxdy (, ) +∞ +∞ −∞ −∞ = ∫ ∫ 1 k ydy xdx ⋅ ∫ ∫ 3 1 1 0 所以 所以 得 (2) x ∈[,] 0 1 时 解 (1) 由