南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第十二章 无穷级数 12.2 常数项级数的审敛法

第二节常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法 dP 若4n≥0，则称∑山n为正项级数.（如调和级数，p颇数） n=l 定理1正项级数∑山收敛的充分必要条件是：它的 n=l 部分和数列{sn}有界. 证“必要性”若∑山收敛，则{，}收敛，故有界 n= “充分性”由u,≥0，所以部分和数列{Sn}单调递增， 又已知{Sn}有界，故{sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=1

一、正项级数及其审敛法 若 ≥ 0, u n ∑ ∞ n = 1 u n 定理 1 正项级数 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛的充分必要条件是：它的 部分和数列{ }n s 有界 . 若 ∑ ∞ n = 1 u n 收敛 , 0 , n u ≥ 所以部分和数列 有界, 故 ∑ ∞ n = 1 又已知 从而 u n 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证 “必要性 ” “充分性 ” 由 则{ }收敛, s n { } s n { } s n { } s n （如调和级数, p级数 ）

定理2（比较审敛法） 设立，和n都是正项级数且usl,2, (1)若收敛，则.收敛（大的收敏，小的也妆蚊） (2)若∑山n发散，则∑发散（小的发散，大的也发散） 证(1)设级数∑v收敛，其和为o,则级数∑4n的部分和 SmFu1+l2+··+un≤y1+v2+··+yn≤o(n=1,2,）) 即部分和数列{s}有界，因此由定理1级数∑u,收敛 (2)反证法：利用(1)的结论

证 即部分和数列{s 因此由定理1级数∑un收敛. n}有界， ≤v1+v2+ ⋅ ⋅ ⋅ +v s n≤σ (n=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), n=u1+u2+ ⋅ ⋅ ⋅ +un （1）设级数∑vn收敛, 其和为σ, 则级数∑un的部分和 （2）反证法：利用（1）的结论. 定理2(比较审敛法) 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤vn (n=1, 2, … ). （1）若 ∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则∑ ∞ n=1 un 收敛; （2）若 ∑ ∞ n=1 un发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散. （大的收敛，小的也收敛） （小的发散，大的也发散）

定理2（比较审敛法） 设，和上n都是正项级数且us.l,2, = (1）若收敛，则收敛（大的收做，小的也收纹） (2)若，发散，则2发散（小的发散，大的也发散） 推论 设2山n和之yn都是正项级数，且≤wk>0,n≥N n=l 若收敛，则收敛若山发散，则y发散

定理2(比较审敛法) 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤vn (n=1, 2, … ). （1）若 ∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则 ∑ ∞ n=1 un收敛; （2）若 ∑ ∞ n=1 un发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散. （大的收敛，小的也收敛） （小的发散，大的也发散） •推论 设∑ ∞ n=1 un 和∑ ∞ n=1 nv 都是正项级数,且un≤kv n(k>0, n≥N). 若∑ ∞ n=1 nv 收敛, 则∑ ∞ n=1 un 收敛; 若∑ ∞ n=1 un 发散, 则∑ ∞ n=1 nv 发散

例1讨论p级数1++1 +…+1+常数p>0) 2P 3P 的敛散性。 正项级数 解(1)若p≤1，因为对一切n∈Z, 0 。1 而调和级数∑ 发故，由比较审敛法可知p级数》 发散

例1 讨论 p 级数 + p + p +"+ p +" n1 31 21 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解（1）若p ≤1, 因为对一切 , + n∈ Z 而调和级数∑ ∞ =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数∑ ∞ =1 1 n p n n 1 ≥ 发散 . 发散 , p n 1 正项级数

(2)若p>1,因为当n-1≤xsn时，1≤1 ,故 i] [小女 4-o n-→ 故该级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛

p > 1,因为当 n − 1 ≤ x ≤ n , 1 1 p p n x ≤ 故 ∫ − = n p n p x n n 1 d 1 1 ∫ − ≤ n n p x x 1 d 1 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ − = − 1 − 1 1 ( 1 ) 1 1 1 p p p n n 考虑级数 ⎥⎦ ⎤ − − ⎢⎣ ⎡ − − ∞ = ∑ 1 1 2 1 ( 1 ) 1 p p n n n 的部分和 σ n ⎥⎦ ⎤ + − ⎢⎣ ⎡ = − − = ∑ 1 1 1 ( 1 ) 1 1 p p n k k k n → ∞ 故该级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1 ) 1 1 − + = − p n ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 ( 1 ) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n " 1 （ 2 ） 若

p级数2山 n=i np 当p>1时收敛，当p≤1时发散 调和级数与p级数是两个常用的比较级数。 练习若存在N∈Z,对一切n≥N, 、10 ()un≥，则∑4n 发散 n n=1 2少期 收敛 n-1

调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N ∈Z 对一切n ≥ N , , 1 (1) n un ≥ ( 1), 1 (2) ≤ p > n un p p−级数 p n n 1 1 ∑ ∞ = : 当 p>1 时收敛,当p ≤1时发散. 练习 1 则∑ ∞ n= un 1 则∑ ∞ n= un 发散 收敛

1 例2证明级数 白√nn+ 发散 证因为 m-4o-12 而级数 发散 根据比较审敛法可知，所给级数发散

证明级数 ∑ ∞ = + 1 ( 1) 1 n n n 发散 . 证 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + ≥ n n + n ( 1, 2, ) 1 1 = " + = n n 而级数 ∑ ∞ = + 1 1 1 n n ∑ ∞ = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2

定理3（比较审敛法的极限形式）设∑4和都足 n=1 正项级数，满足lim4n-1,则有 n→oVn (1)当0<1<∞时，两个级数同时收敛或发散， 00 00 (2)当1=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=1 n=1 0 00 (3)当1=∞且 ∑yn发散时，∑4n也发散 n=1 n=1

定理3 (比较审敛法的极限形式) 1 n n u ∞ = ∑ ∑ ∞ n=1 nv lim l, v u n n n = →∞ 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 , 1 且 ∑ 收敛时 ∞ n= nv ; 1 ∑ 也收敛 ∞ n= un (3) 当 l =∞ , 1 且 ∑ 发散时 ∞ n= nv . 1 ∑ 也发散 ∞ n= un 设 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 和 都是 正项级数

∑4n,∑yn是两个正项级数，lim4n=l, n→ooVn (1)当01,0≤1<o→∑un收数

思考 取 , 1 n p n v = 对正项级数 ∑un , 可得如下结论 : p >1, 0 ≤ l < ∞ u l n n = →∞ lim p n p ≤1, 0 < l ≤ ∞ ∑ , un ∑ nv lim l, v u n n n = →∞ 是两个正项级数, (1) 当0 < l < ∞时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当l = 0 且∑vn收敛时, (3) 当l = ∞且∑vn 发散时, ∑un 也收敛 ; ∑un 也发散 . ∑un ∑un 发散 收敛