南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第十二章 无穷级数 12.1 常数项级数的概念与性质

第十二章无穷级数 数项级数 无穷级数{幂级数 傅里叶级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具， 研究性质 数值计算

无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 傅里叶级数 第十二章

第一节常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质 第一节

一、常数项级数的概念 引例用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,边形，设a0表示 内接正三角形面积，a以表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 a0+a41+a2+…+an n→oo时，这个和逼近于圆的面积A 即 A=a0+a41+a2+…+an+

一、常数项级数的概念 引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 × 2 ( n = 0,1, 2," ) n 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . a 0 + a 1 + a 2 + " + a n 设 a 0 表示 n → ∞ 时, 即 A = a 0 + a 1 + a 2 + " + a n + " 内接正三角形面积, a k 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 3 × 2 n 边形面积为

定义给定一个数列山1，u2,3,…,4n,…将各项依 00 次相加，简记为∑4n,即 n=l 0 ∑4，=4+山2+4+…+4n+… n= 称上式为无穷级数，其中第n项n叫做级数的一般项

定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,", un ," 将各项依 , 1 ∑ ∞ n= n u 即 ∑ ∞ n=1 n u = u1 + u2 + u3 +"+ un +" 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项. 次相加, 简记为

冬级数举例 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 调和级数 n n 1,1 1 n(n+1) 名uon n(n+1) a+aq+aq+.…+aq"+… agn-1 等比级数 几何级数 +1一+1 温 p级数

™级数举例 1 1 n 1 3 1 2 1 1+ + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ n 1 1 ∑ ∞ n= n 调和级数 ( 1) 1 1 + ∑ ∞ ( 1) n= n n 1 2 3 1 1 2 1 + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ + ⋅ + ⋅ n n ( 1) 1 n n+ 0 ∑ ∞ = n n aq 2 + + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ n a aq aq aq 几何级数 1 1 ∑ ∞ n= np 1 3 1 2 1 1+ + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ p p np 1 np 级数的展开形式 备注 简写形式 一般项 aqn-1 等比级数 p级数

定义给定一个数列41,2，山3，…，n,…将各项依 00 次相加，简记为∑山n,即 n=l 0 ∑4，=4+山2+4+…+4n+… n= 称上式为无穷级数，其中第n项n叫做级数的一般项 级数的前n项和Sn=∑4k=叫+山+4++m h k=1 称为级数的部分和

定义 给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,", un ," 将各项依 , 1 ∑ ∞ n= n u 即 ∑ ∞ n=1 n u = u1 + u2 + u3 +"+ un +" 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 ∑ = = n k Sn uk 1 称为级数的部分和. =u1 + u2 + u3 +"+ un 次相加, 简记为

若lim Sn-S存在，则称无穷级数收敛，并称S为级数 n->0 00 的和，记作S=∑4n n=1 若lim Sn不存在，则称无穷级数发散 当级数收敛时，称差值rn=S-Sn=un+1+um+2+… 为级数的余项.显然lim,n=0 n→oo (只在级数收敛的时候余项才有意义)

∑ ∞ = = n 1 S un 当级数收敛时, 称差值 rn = S − Sn = un+1 + un+2 +" 为级数的余项. 若 lim 不存在, n n S →∞ 则称无穷级数发散 . 显然 lim = 0 →∞ n n r 若 lim S S 存在, n n = →∞ 则称无穷级数收敛 ,并称S为级数 的和, . 记作 （只在级数收敛的时候余项才有意义）

例1讨论等比级数（又称几何级数） 00 ag”=a+ag+ag2++ag+…(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性 解(1)若q≠1，则部分和 Sn=a+ag+aq?+...+aq"-Laag" 1-q 当gs1时，由于mg=0,从而，mSn=g 因此级数收敛，其和为品g n-→o 当lq>l时，由于Iimg”=o,从而lim Sn=oo, 因此级数发散

例1 讨论等比级数 (又称几何级数) ( 0 ) 2 0 ∑ = + + + + + ≠ ∞ = a q a a q a q a q a n n n " " ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 (1) 若q ≠ 1, 2 −1 = + + + + n Sn a a q a q " a q q a a qn −− = 1 当 时， q 1时

(2).若q=1,则 当q=1时，Sn=na→o,因此级数发散， 当q=-1时，级数成为 a-a+a-a+…+(-1)"-a+. a, n为奇数 n为偶数 从而limS,不存在，因此级数发散 n-→0∞ 综合(1)、(2)可知9<1时，等比级数收敛； q≥1时，等比级数发散

(2). 若 q =1, 当 时 q =1 , S n a n = 因此级数发散 ; 当 时 q = −1 , a − a + a − a +"+ (−1)n−1a +" 因此 ⎩⎨⎧ Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 n n S →∞ lim 综合 (1)、(2)可知, q <1 时, 等比级数收敛 ; q ≥1时, 等比级数发散 . , 则 → ∞, 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散

例2判别下列级数的敛散性： 00 n=1(n+l) 解(1) -n+n+ln子+h n -(h2-InI)+(lng-In2)+.+(ln(z+I)-Ing) =ln(n+l)-→o(n→o) 技巧： 所以级数(1)发散； 利用拆项相消”求和

例2 判别下列级数的敛散性: . ( 1) 1 ; (2) 1 (1) ln 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = + + n n n n n n 解 (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) +"+ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → ∞ ( n → ∞） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + +"+