南阳师范学院：《高等数学》课程教学课件（同济第六版）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.5 函数的极值与最大值最小值

第五节函数的极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法 1. 极值的定义 设函数y=fx)的定义域为D.如果存在x,的某一邻域U(x)cD,使得对任意 的xeU(x), (1)都有fw)≤fx)则称函数y=f在点x,处有极大值fx,.点x,称为极大值点 (2)都有f(x)≥fx), 则称函数y=fx)在点，处有极小值fx).点x,称为极小值点 极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点

一、函数的极值及其求法 设函数y f x  ( )的定义域为D .如果存在 0 x 的某一邻域 0 U x D ( )  ，使得对任意 的 0 x U x  ( )， 1. 极值的定义 （1）都有 0 f x f x ( ) ( )  则称函数y f x  ( )在点 0 x 处有极大值 0 f x( ).点 0 x 称为极大值点. （2）都有 0 f x f x ( ) ( )  ，则称函数y f x  ( )在点 0 x 处有极小值 0 f x( ) .点 0 x 称为极小值点. 极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点

一、函数的极值及其求法 2 极值的判定 定理1（必要条件）设函数∫(x)在x点处可导，且在xo点取得极值，则必有 f'(x)=0 注记1：可导函数的极值点一定是驻点.但驻点却不一定是极值点. 如y=x的驻点是x=0,但函数在在x=0附近无极值 注记2：函数的极值点可能是驻点也可能是不可导的点.如函数 f(x)=x在点x=0处不可导，但函数在x=0处取到极小值

定理 1 (必要条件) 设函数 f (x)在 0 x 点处可导,且在 0 x 点取得极值,则必有. 2 极值的判定 0 f x ( )=0 注记 1:可导函数的极值点一定是驻点. 但驻点却不一定是极值点. 如 3 y x  的驻点是 x  0，但函数在在x  0附近无极值 一、函数的极值及其求法 注记 2：函数的极值点可能是驻点也可能是不可导的点. 如函数 f (x)  x 在 点 x  0处不可导,但函数在 x  0处取到极小值

一、函数的极值及其求法 例1：判断正误 (1)极值点一定在区间内部取得，不能在区间端点取得。 (2)连续函数的极大值点和极小值点可能不唯一 (3)定义域内连续函数的极大值一定大于极小值 (4)定义域内可导函数一定有极值点. X o ax x2 x3X4 b

1 x 4 x3 x 2 a x b x o y 例 1：判断正误 （1）极值点一定在区间内部取得,不能在区间端点取得. （2）连续函数的极大值 点和极小值点可能不唯一 （3）定义域内连续函数的极大值一定大于极小值 （4）定义域内可导函数一定有极值点. 一、函数的极值及其求法

一、函数的极值及其求法 问题1：如何判断函数的驻点是函数的极值点？， 问题2：如何判断函数的不可导点是极值点？

问 题 1 ：如何判断函数的驻点是函数的极值点？, 问题 2：如何判断函数的不可导点是极值点？ 一、函数的极值及其求法

一、 函数的极值及其求法 定理2（第一充分条件） 设fx)在x,处连续，且在x,的某去心邻域U(,6)内可导 (1)若x∈(x。-d,)时， fx)>0 而x∈(，x。+d)时， fx)0 则 f(x)在点x处取得极小值 (3):若x∈U(x,⊙)时，f"x)的符号保持不变，则f)在x,处没有极值

定理 2 (第一充分条件) 设 f (x)在 0 x 处连续，且在 0 x 的某去心邻域 ( , ) x0    内可导. (1) 若 ( , ) 0 0 x x  x 时， f (x)  0, 而 ( , ) x x0 x0  时， f (x)  0, 则 f (x)在点 0 x 处取得极大值; f (x)在点 0 x 处取得极小值. 一、函数的极值及其求法 (2) 若 ( , ) 0 0 x x  x 时， f (x)  0, 而 ( , ) x x0 x0  时， f (x)  0, 则 (3)：若 ( , ) x x0    时， f (x)的符号保持不变，则 f (x)在 0 x 处没有极值

一、函数的极值及其求法 注记3：如果函数fx)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，那 么就可以按下列步骤来求f()在该区间内的极值点和极值： 第一步：确定函数fx)的定义域； 第二步：求函数的导数f'(x),并求出fx)的所有驻点及不可导点； 第三步：列表判定函数的导数∫'(x)在每一个驻点和不可导点左右两侧的符号 第四步：利用第一充分条件得到极值点和相应的极值

注记 3：如果函数 f (x)在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,那 么就可以按下列步骤来求 f (x) 在该区间内的极值点和极值: 第一步： 确定函数 f (x)的定义域; 第二步：求函数的导数 f (x),并求出 f (x)的所有驻点及不可导点; 第三步：列表判定函数的导数 f (x)在每一个驻点和不可导点左右两侧的符号 第四步：利用第一充分条件得到极值点和相应的极值. 一、函数的极值及其求法

例2.求函数fx)=6x2-1)+1的极值 解 （1)这个函数的定义域为(-0，+0). (2)导数为f()=6xx2-1,令f"()=0得驻点x,=-1,=0;x=1 (3)讨论如下表所示： (-0,-1) (-1,0) 0 (0,1) (1,+o∞) f'(x) 0 0 0 f(x) 没有极值 极小值0 没有极值 (4)由上表可得fx在x=0处取得极小值，极小值为f0)=0. f)在x=士1处没有极值

（2）导数为 2 2 f x x x ( ) 6 ( 1)   , 令 f (x)  0得驻点x1  1, 2 x  0 ; 3 x 1 解 （1） 这个函数的定义域为( ) 例 2 求函数 2 3 f x x ( ) ( 1) 1    的极值. x (,1) 1 ( 1,0)  0 (0,1) 1 (1, )  f x ( )  0 － 0  0  f (x) 没有极值 极小值 0 没有极值 (3) 讨论如下表所示: （4）由上表可得 f x( )在x  0处取得极小值 极小值为 f (0) 0   f x( )在x  1处没有极值

例3求函数fx)=1-(x-2)的极值. 解：（1)函数的定义域为(-0，+0). (2) 当x≠2时，)= 2 3x-2 x=2为函数的不可导点 (3)讨论如下表所示： (-00,2) 2 (2,+∞) f'(x) 不存在 f(x) 极大值1 (4)由上表可得函数f(x)在x=2处取得极大值f(2)=1

例 3 求函数 2 3 f x x ( ) 1 ( 2)    的极值. 解 （1）函数的定义域为( ) (2) 当x  2时， 3 2 ( ) 3 2 f x x     x  2为函数的不可导点 x ( ,2)  2 (2,+ )  f (x) + 不存在 － f (x) 极大值 1 （4） 由上表可得函数 f (x)在 x  2处取得极大值 f (2) 1 (3) 讨论如下表所示:

问题 如果f在驻点x,处的二阶导数f"x)存在，那么可否用 二阶导数的符号来判定x是极值点？

问题 如果 f x( )在驻点 0 x 处的二阶导数 0 f x ( )存在，那么可否用 二阶导数的符号来判定 0 x 是极值点？