南阳师范学院：《概率统计》课程教学资源（总结）2、一维随机变量及其分布

(1)离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,…)且取各个值的概 率，即事件(X=X)的概率为 P(X=x)=p,k=1,2,…, 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分 布列的形式给出： 1,X2…,X… PX=ap,p2,,p%,。 显然分布律应满足下列条件： (1)pm20,k=1,2…, 2)2=1 (2)连续型随机变量的密度 设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数∫(x),对任意实数 x,有 F(x)=["f(x)dx 则称X为连续型随机变量。(x)称为X的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质：

（1） 离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 X 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概 率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分 布列的形式给出： ,,,, LL | = k )( 21 pppxXP k 21 xxxX k,,,, LL 。 显然分布律应满足下列条件： （1） pk ≥ 0 ，k = ,2,1 L， （2） 。 ∑= = 1 1 k pk ∞ xF )( （2）连续型随机变量的密度 设 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 xf )( ，对任意实数 x，有 ∫ ∞− = )()( dxxfxF x ， 则称 X 为连续型随机变量。 xf )( 称为 X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质：

1°fx)20。 2°Cfwh=1 (2)离散与连续型随机变量的关系 P(X=x)≈P(x<X≤x+)≈f(x)d 积分元fx)在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=)=m在 离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 (3)分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数 F(x)=P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 P(a<Xsb)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布 函数F(x)表示随机变量落入区间(-∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1°0≤F(x)≤L-0<x<+0: 2°F(x)是单调不减的函数，即x1<x时，有F(x)≤F(x) 3 F(-)=lim F(x)=0,F(+)=lim F(x)=1;

1° 。 xf ≥ 0)( +∞ 2° 。 ∫ ∞− dxxf = 1)( （2） 离散与连续型随机变量的关系 ()( ≈+≤<≈= )() dxxfdxxXxPxXP 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在 离散型随机变量理论中所起的作用相类似。 )( dxxf )( == pxXP kk （3） 分布函数 设 X 为随机变量， x是任意实数，则函数 = ≤ xXPxF )()( 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。 ≤< = − aFbFbXaP )()()( 可以得到 X 落入区间 的概率。分布 函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 ba ],( xF )( 分布函数具有如下性质： 1° xF ≤≤ ,1)(0 ∞− < x < +∞； 2° xF )( 是单调不减的函数，即 x < x21 时，有 xF 1)( ≤ xF 2)( ； 3° =−∞ = 0)(lim)( ， −∞→ F xF x +∞ = = 1)(lim)( +∞→ F xF x ；

4°F(x+O)=F(x),即F(x)是右连续的： 5° PX=x)=Fx)-F(x-O)。 对于离散型随机变量，F)=∑P: 对于连续型随机变量，F(x)=∫fx)d。 (4)六大分布 0-1分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数 是随机变量，设为X,则X可能取值为01,2，，n。 PX=k)=P(k)=Cpg-*，其中q=1-p,0<p<l,k=01,2,…,n, 则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为X~B(n,p)。 当n=1时，PX=k)=pg*,k=0.1,这就是(0-1)分布，所以(0-1) 分布是二项分布的特例。 泊松分布

4° + = xFxF )()0( ，即 xF )( 是右连续的； 5° = −= xFxFxXP − )0()()( 。 ∑≤xx k k )( = pxF x 对于离散型随机变量， ； 对于连续型随机变量， 。 ∫ ∞− = )()( dxxfxF （4） 六大分布 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p 。事件 A发生的次数 是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 。 L,,2,1,0 n knkk n n qpCkPkXP − )()( === ， 其中 = − < < kppq = L,,2,1,0,10,1 n ， 则称随机变量 X 服从参数为n， p 的二项分布。记为 pnBX ),(~ 。 当 时， n = 1 )( == qpkXP 1−kk ，k = 1.0 ，这就是（0-1）分布，所以（0-1） 分布是二项分布的特例。 泊松分布

设随机变量X的分布律为 rx--若e,40,k=02 则称随机变量X服从参数为元的泊松分布，记为X~π()或者P(入)。 泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n→∞)。 均匀分布 设随机变量X的值只落在[a,b]内，其密度函数f(,在[a,b]上为常 数。即 a≤x≤b f(x)=b-a 0, 其他， 则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，记为X~U(a,b)。 分布函数为 0, x<a, x-a F(x)=["f(x)dx=b-a' a≤x≤b xb。 当a≤x1<x2≤b时，X落在区间(x,x)内的概率为 P<X<)=。 b-a

设随机变量 X 的分布律为 λ −λ == e k kXP k ! )( ，λ > 0，k = 2,1,0 L， 则称随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X π λ)(~ 或者 P(λ )。 泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 均匀分布 设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常 数 xf )( − ab 1 ，即 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − ,0 , 1 xf )( ab 其他， a≤x≤b 则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。 分布函数为 0， xb。 当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ 21 ）内的概率为 , xx ab xx xXxP − − =<< 12 1 2 ( )

指数分布 x20 fx)=10. x0，则称随机变量x服从参数为2的指数分布。 X的分布函数为 1-e x20 F(x)0. x0. 记住积分公式： 「x"edk=nl 正态分布 设随机变量X的密度函数为 1e器， f)=2π -G00为常数，则称随机变量X服从参数为“、σ的正态 分布或高斯(Gauss)分布，记为X~N(,o)。 f(x)具有如下性质： 1°(x)的图形是关于x=“对称的： 2°当x=“时f四=2 1为最大值： 若X~N(4,o),则X的分布函数为

指数分布 , x e λ λ − , x ≥ 0 xf )( = 0, x 0，则称随机变量X服从参数为λ 的指数分布。 X 的分布函数为 ,1 x e −λ − , x ≥ 0 xF )( = ,0 x 0为常数，则称随机变量 X 服从参数为 μ 、σ 的正态 分布或高斯（Gauss）分布，记为 。 NX )(~ xf )( xf )( , 2 σμ 具有如下性质： 1° 的图形是关于 x = μ 对称的； x = μ 时， σπ μ 2 2° 当 f )( = 1 ),(~ 2 NX σμ 为最大值； 若 ，则 X 的分布函数为

n-e等h 参数4=0、。=1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(O,), 其密度函数记为 e ，-0<x<+0 分布函数为 。 (x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(0=1-0)且D0= 如果xNu,o),则X-LNO,。 <xs=a-a后） (7)函数分布 离散型 已知X的分布列为

xF dtex ∫ ∞− − = 2 2 2 1 )( σ πσ t − 2 μ)( 参数 μ = 0 、σ =1时的正态分布称为标准正态分布，记为 ， 其密度函数记为 NX )1,0(~ 2 2 1 )( = ex π ϕ 2 x − ， x +∞<<∞− ， 分布函数为 ∫ ∞− x =Φ dte 2 2 )( π − x t 2 1 Φ x)( 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 Φ(-x)＝1-Φ(x)且 Φ(0)＝ 2 1 。 如果 X ~ N σμ 2 ),( ，则 σ X − μ ~ 。 N )1,0( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ Φ−⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − Φ=≤< σ μ σ 2 μ 1 1 2 ( ) x x xXxP 。 （7）函数分布 离散型 已知 X 的分布列为

X2,…,,… PX=x)p,p2,…,pm, Y=g(X)的分布列(y,=g(x,)互不相等)如下： ygx.gxa.…,8以 PY=y)pmp,pm,… 若有某些gx)相等，则应将对应的p,相加作为gx)的概率 连续型 先利用X的概率密度f(x)写出Y的分布函数F,(y)=P(g(X)≤y),再利 用变上下限积分的求导公式求出f,(y)

= xXP i)( 21 ppp n,,,, LL X 21 xxx n,,,, LL = XgY )( = xgy )( ， 的分布列（ i i 互不相等）如下： = yYP i)( pp 21 L pn,,,, L Y 1 2 L xgxgxg n),(,),(),( L， 若有某些 xg i)( 相等，则应将对应的 pi相加作为 xg i)( 的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利 用变上下限积分的求导公式求出fY(y)