南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第二十二章 曲面积分

第二十二章 曲面积分 教学课节： §1第一型曲面积分 §2第二型曲面积分 §3高斯公式与斯托克斯公式 前页 后页 返回

前页 后页 返回 第二十二章 曲面积分 教学课节： §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式

§1第一型曲面积分 教学内容： 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 前页 后页 返回

前页 后页 返回 教学内容： 一、第一型曲面积分的概念 二、第一型曲面积分的计算 §1 第一型曲面积分

一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分，当质量分布在某一曲面块S, 且密度函数p(x,y,z)在S上连续时，曲面块S的质 量为极限 Iim∑p(5,7,5)△S, 1IT1-→0 i=1 其中T={S1,2,.,Sn}为曲面块的分割，△S表 示小曲面块S,的面积，(5,7，S)为S,中任意一点， ‖T‖为分割T的细度，即为诸S,中的最大直径， 前页 后页 返回

前页 后页 返回 示小曲面块 Si (,, ) iii ξηζ 的面积， 为 Si 中任意一点， 1 2 {, , } T SS S = n ..., 其中 为曲面块的分割，∆Si 表 一、第一型曲面积分的概念 如同第一型曲线积分, 当质量分布在某一曲面块 S， 量为极限 → = ∑ i || || 0 1 lim ( , , ) , n ii i T i ρξ η ζ ∆S || || T 为分割 T 的细度，即为诸 Si 中的最大直径. 且密度函数 ρ(, ,) xyz 在 S上连续时，曲面块 S 的质

定义1设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为 定义在S上的函数.对曲面S作分割T,它把S分成 n个小曲面块S,(i=1,2,,n),以△S,记小曲面块 S,的面积，分割T的细度T=max{S,的直径}，在 <i< S,上任取一点(5,7,5)(i=1,2,,m),若存在极限 lim∑f(5,n,5)△S,=, IT-→0 i=1 且与分割T及(5，，5)的取法无关，则称此极限为 f(x,y,z)在S上的第一型曲面积分，记作 前页 后页 返回

前页 后页 返回 Si ( , , ) ( 1, 2, , ), iii 上任取一点 ξηζ i n =  若存在极限 || || 0 1 lim ( , , ) , n iii i T i f SI ξηζ ∆ → = ∑ = 定义在S上的函数. 对曲面S作分割T, 它把 S 分成 n 个小曲面块 Si n S i i ( 1, 2, , ), =  以 ∆ 记小曲面块 Si { } 1 || || max i i n T S ≤ ≤ 的面积, 分割T 的细度 = 的直径 ，在 定义1 设S是空间中可求面积的曲面, f xyz (, ,) 为 且与分割 T 及 (,, ) ξηζ iii 的取法 无关, 则称此极限为 f xyz S (,,) 在 上的第一型曲面积分, 记作

1=∬fx,zas. (0 于是，前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为： m=∬p(x,Jyz)dS. S 特别地，当f(x,y,z)=1时，曲面积分∬dS就是曲面 块S的面积. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 ( , , )d . (1) S I f xyz S = ∫∫ 于是, 前述曲面块的质量由第一型曲面积分表示为: f xyz (,,) 1 ≡ d S S 特别地 ∫∫ , 当 时,曲面积分 就是曲面 块 S 的面积. ( , , )d . S m xyz S = ρ ∫∫

二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分可化为二重积分来计算. 定理22.1设有光滑曲面 S:z=z(x,y),(x,y)∈D, f(x,y,z)为S上的连续函数，则 /.zs=∬fx,2++ad. …(2) 前页 后 返回

前页 后页 返回 二、第一型曲面积分的计算 第一型曲面积分可化为二重积分来计算. 定理22.1 设有光滑曲面 S z zxy xy D : ( , ),( , ) , = ∈ f xyz (, ,) 为S上的连续函数, 则 2 2 ( , , )d ( , , ( , )) 1 d d . x y S D f xyz S f xyzxy z z x y = + + ∫∫ ∫∫ (2)

例1计算，ds,其中s 是球面x2+y2+z2=a2被 平面z=h(0<h<)所截 得的顶部（图22-1）. 图22-1 前页 后页 返回

前页 后页 返回 1 d , S S z 例1 计算 ∫∫ 其中 S 2 22 2 是球面 xyza ++= 被 平面 zh ha = << (0 ) 所截 得的顶部(图22-1). x y h O z a 图 22 1 −

例2计算∬(y+zx+z)dS, 其中S为圆锥面z=√x2+少 =x+y 被圆柱面x2+y2=2x所割 下的部分（图22-2）. x2+y2=2x 图22-2 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例2 计算 ( )d , S xy zx yz S + + ∫∫ S 2 2 其中 为圆锥面 z xy = + 被圆柱面 2 2 x y ax + = 2 所割 下的部分(图22-2). 图22 2 − y x O 2 2 z xy = + 2 2 x y ax + = 2 z

§2第二型曲面积分 教学内容： 一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 前页 后页 返回

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一、曲面的侧 设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面（或法 线)，曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时，另一个指向就是负方 向.又设M,为S上任一点，L为S上任一经过点M, 且不超出S边界的闭曲线.当S上的动点M从M。 出发沿L连续移动一周而回到时，如果有如下特 征：出发时M与M取相同的法线方向，而回来时仍 保持原来的法线方向不变，则称该曲面S是双侧的. 前页 返回

前页 后页 返回 一、曲面的侧 设连通曲面S 上到处都有连续变动的切平面 (或法 线), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方 向. 又设 M0 为S 上任一点, L为 S上任一经过点 0 M , 且不超出 S 边界的闭曲线. 当S 上的动点M 从 M0 出发沿 L 连续移动一周而回到 时,如果有如下特 M0 征 M0 :出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍 保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的