南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第十七章 多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 §1可微性与偏导数 §2复合函数微分法 §3方向导数与梯度 §4泰勒公式与极值问题 前页 后页 返回

前页 后页 返回 第十七章 多元函数微分学 §1 可微性与偏导数 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题

§1可微性与偏导数 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件 四、可微性的几何意义及应用 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 可微性与偏导数 四、可微性的几何意义及应用 返回 一、可微性与全微分 二、偏导数 三、可微性条件

一、可微性与全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+Ax,y)-f(x.y)fx(x,y)Ax f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量 对x和对y的偏微分 前页 后页 返回

前页 后页 返回 f x x y f x y ( , ) ( , )     f x (x, y)x f x y y f x y ( , ) ( , )    f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏微分 二元函数 对 x 和对 y 的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 一、可微性与全微分

定义1设函数z=f(x,y)在某邻域U(P)内有定 义.对于P(x,y)=(x。+△x,y+△y)∈U(P),若f在 P的全增量△z可表示为： △z=f(x0+△x,o+△y)-f(xoy) =A△x+B△y+0(p), (10 其中A,B是仅与点P有关的常数，p=√△x2+△y2, o(p)是p的高阶无穷小量，则称f在点P可微 并称(I)式中关于△x,△y的线性表达式A△x+B△y 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定义 1 设函数 0 z f x y U P  ( , ) ( ) 在某邻域 内有定 0 0 0 义.对于 P x y x x y y U P ( , ) ( , ) ( ),       若 f 在 P0 的全增量 z 可表示为: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), z f x x y y f x y A x B y o              (1) P0 2 2 其中A,B是仅与点 有关的常数,      x y , o( )   是 的高阶无穷小量 P0 , 则称 f 在点 可微. 并称 (1) 式中关于     x y A x B y , 的线性表达式 

为f在P的全微分，记作 dzlB=df(x,)=A△x+BAy 当|△x,|△y|充分小时，全微分dz可作为全增量 4?的近似值，于是有近似公式： f(x,y)f(xoVo)+A(x-xo)+B(y-yo). 在使用上，有时也把()式写成如下形式： △z=A△x+B△y+a△x+B△y, 这里lim。a&=,.lim。。B=0. (△x,△y)-→(0,0)（△x,△y)-→(0,0） 前页 后页 返回

前页 后页 返回 当 | |, | |   x y 充分小时, 全微分 dz ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim lim 0. x y x y         这里        z A x B y x y       , 0 d | d ( , ) . P 0 0 z f x y A x B y      0 为 f P 在 的全微分, 记作 z 可作为全增量 的近似值, 于是有近似公式: 在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式： 0 0 0 0 f x y f x y A x x B y y ( , ) ( , ) ( ) ( ).     

例1考察f(x,y)=xy在任一点(xo,y)的可微性. 二、偏导数 定义2设函数z=f(x,y),(化，y)∈D,且f(,y)在 x的某邻域内有定义.则当极限 lim△乏=imfx,+Ax,w)-f(x,y） △x→0△x△x→0 △x 存在时，称此极限为f在点(x,y)关于x的偏导数， 记作 f人或 oz axw)'axxn 前页 后页 返回

前页 后页 返回 例1 考察 0 0 f x y x y x y ( , ) ( , ) .  在任一点 的可微性 二、偏导数 0 x 的某邻域内有定义. 则当极限 存在时, 称此极限为 0 0 f x y 在点( , ) 关于x 的偏导数, 0 定义 2 设函数 且 在 z f x y x y D f x y   ( , ), ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y   x x          记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . x x y x y f z f x y x x     或

类似地可定义f在点(x,y)关于y的偏导数： lim △，z =limf+△)-fx,w) Ay→0△yAy0 △y 记作 ∫，(xy,或 of Ox ay ay (xo0) 注1这里 00 是专用于偏导数的符号，与一元 Ox'ay 函数的导数符号d相仿，但又有区别. dx 前页 返回

前页 后页 返回 类似地可定义 0 0 f x y 在点( , ) 关于 y 的偏导数: 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim , y y y z f x y y f x y   y y          记作 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ), , . y x y x y f z f x y y y     或 注1 , x y     这里 是专用于偏导数的符号,与一元 d dx 函数的导数符号 相仿,但又有区别

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数， 它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作 亲，高或 同理可定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数， 记作 或2，xn 前页 后页 返回

前页 后页 返回 如果函数z  f ( x, y)在区域D内任一点( x, y)处对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、 y的函数， 它就称为函数z  f ( x, y)对自变量x的偏导数，记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可定义函 数 z f (x, y) 对自变量 y 的偏导数， y f   , y z f (x, y) 或, y . 记作

由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求票时，只要把x之外的其他自变及智时石成 常量，对x求导数即可。 求时，只要把y之外的其他自变量暂时看成 常量，对y求导数即可。 其它情况类似。 前页 后顶 返回

前页 后页 返回 由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。 求 时， x f   只要把 x 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 x 求导数即可。 求 时， y f   只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 常量，对 y 求导数即可。 其它情况类似

有关偏导数的几点说明： 1偏导数兴是一个整体记号，不能拆分： 2、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求 偏导数的几何意义：z=f(x,y)的几何图象通常是 三维空间中的曲面，设P(x,yo,0)为此曲面上一 点，其中0=f(x,y).过点P作平面y=,它与 曲面相交得一曲线： C:y=yo,z=f(x,y). 前页 后页 返回

前页 后页 返回 偏导数的几何意义: z f x y  ( , ) 的几何图象通常是 三维空间中的曲面, 设 0 0 0 0 P x y z ( , , ) 为此曲面上一 0 0 0 z f x y  ( , ) . 0 0 点, 其中 过点 作平面 它与 P y y  , 曲面相交得一曲线： 0 C y y z f x y : , ( , ).   有关偏导数的几点说明： １、 ２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求. 偏导数 x u   是一个整体记号，不能拆分;