南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第七章 实数完备性

第七章实数的完备性 ·7.1关于实数集完备性的基本定理 ·7.2闭区间上连续函数性质的证明

• 7.1 关于实数集完备性的基本定理 • 7.2 闭区间上连续函数性质的证明

7.1实数完备性的基本定理 ·一、区间套定理与柯西收敛准则 ·二、聚点定理与有限覆盖定理

• 一、区间套定理与柯西收敛准则 • 二、聚点定理与有限覆盖定理

一、闭区间套定理 1.闭区间套 定义1如一列闭区间{[a,b,]}满足 (1) [an+1,bn1]c[an,bn],n=1,2,3, (2)lim(bn-a,)=0, 则称{[a,b,]}形成一个闭区间套。简称区间套 444 b

一、闭区间套定理 1.闭区间套 {[ , ]} an bn 则称{[an ,bn ]}形成一个闭区间套。 定义 1 如一列闭区间 满足 （1） [ , ] [ , ], 1,2,3, an1 bn1  an bn n  … （2） lim( ) 0, n n n b a    简称区间套. 定义 1 如一列闭区间          a1 a2 a3 a4 b4 b3 b2 b1

注1 设{a}是一个区间套，则由条件(I) 可知， an≤a+1≤bm+1≤bn(n=1,2,…）): 从而可以知道数列{an}单调递增，数列b}单 调递减.且由 an≤bn≤…≤b1,（n=l,2,…), 可知{an}有上界，bn}有上界. a≤a,≤…≤an≤…≤b≤…≤b,≤b 注2由注1可知，lima,limb都存在，因此由条件2) 可得lima=imbn 1-→co n-→co

. 1 2 2 1 a a a b b b n n  L L L  注2 由注1可知, lim n n a  ,lim n n b  都存在,因此由条件(2) 可得 lim n n a  lim . n n b  

2.闭区间套定理 定理1如果{[an,bJ}形成一个闭区间套，则 存在唯一的实数5属于所有的闭区间，即 5∈[an,bnln=1,2, 且5=lima=imbn· n>oo n->oo 推论若5∈[an,bnl,n=1,2,是闭区间套{Lan,bnl} 所确定的点，则 Vε>0,3N∈N,3Vn>N,[an,bn]cU(5;e)

2.闭区间套定理 存在唯一的实数  属于所有的闭区间，即 lim lim . n n n n  a b   且  [ , ] 1,2, n n    a b n 定理 1 如果 {[ , ]} a b n n 形成一个闭区间套，则 0, , ,[ , ] ( ; ). N N n N a b U n n             所确定的点，则 推论 若    [ , ], 1,2, a b n n n 是闭区间套 {[ , ]} n n a b

注1区间套定理也可以为 定理若{[an,bn}为一个区间套，则存在唯一的实数ξ， 使5∈∩la,b.l 注2区间套定理要求区间列中的每个区间为闭区间，对 开区列 {(an,bn)}即使 (1) (a)(a,b),n=1,2,.. (2) lim(b -a)=0

注1 区间套定理也可以为 定理 若 {[ , ]} n n a b 为一个区间套,则存在唯一的实数, 使 1 [ , ]. n n n  a b    注2 区间套定理要求区间列中的每个区间为闭区间,对 开区列 {( , )} n n a b 即使 (1) 1 1 ( , ) ( , ), 1,2, n n n n a b a b n     (2) lim( ) 0 n n n b a   

区间套定理的结论不成立， 例对开区间列{0，}条件1与(2)满足，但 0,2=p n=1 但有定理若{(an,bn)}满足(1)与(2)，且有 (3)an<at,b<bn=1,2,... 则存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间，即 5∈(an,bn),n=1,2,…

区间套定理的结论不成立. 例 对开区间列 1 {(0, )} n 条件(1)与(2)满足,但 1 1 (0, ) n n     但有定理 若 {( , )} n n a b 满足(1)与(2),且有 (3) 1 1 , , 1,2, n n n n a a b b n      则存在唯一的实数  属于所有的闭区间，即 ( , ), 1,2, n n    a b n

用区间套定理证明柯西收敛准则 数列{an}收敛的充分必要条件是：对任意ε>0，存在正整 数N,对一切m,n>N,有 an-amK<8

用区间套定理证明柯西收敛准则 | | . n m a a    数列 { }n a 收敛的充分必要条件是:对任意>0,存在正整 数N,对一切 m,n>N ,有

二、聚点定理 定义设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S也，可以 不属于S)若ξ的任何邻域内都含有S的无穷多个点，则称ξ为 S的聚点. 聚点的等价定义： 飞为点集$的聚点的充要条件是，是对点飞的任何邻域 U(5,δ)都含有S中异于的点，即 U(5,)∩(S-{5})≠p

二、聚点定理 定义设S为数轴上的点集, 为定点(它可以属于S也,可以 聚点的等价定义: 为点集S的聚点的充要条件是, 是对点的任何邻域 不属于S)若的任何邻域内都含有S的无穷多个点,则称为 S的聚点. U S ( , ) ( { })        . U( , )   都含有S中异于的点,即

飞为点集$的聚点的充要条件是，存在各项互异的收敛数 列{xn}满足： (1){xn}cS; 2其极限四七。=5

(1) { } ; n x S  (2)其极限 lim . n n x    为点集S的聚点的充要条件是,存在各项互异的收敛数 { }n 列 x 满足: