南阳师范大学：《线性代数》课程教学资源（练习题）第五章 练习题

第五章练习题 一、判断题 1.相似矩阵有相同的特征多项式 () 2.n阶实矩阵一定有n个线性无关的特征向量 () 3.A,B均为n阶方阵，如果有可逆方阵C,使得B=C-AC,则A与B的关系是既相似又等 价. () 4.对称矩阵一定可以对角化. () 5.A,B均为n阶方阵，如果有可逆方阵C,使得B=CAC,则A与B的关系是既合同又相 似. () 6。两两正交的非零向量组线性无关 () 7n阶矩阵A若有n个不同的特征值，则A与对角形矩阵相似 () 8.对称阵A的特征值全为正，则A为正定的. () 9.设A为n阶矩阵，则A与A的特征值相同. () 二、选择题 10.若A,B是正交阵，下列说法中错误的是(). A.A=A也是正交阵： B.4=或-1： C.AB不是正交阵： D.A的列向量都是单位向量，且两两正交。 11.设A是n阶正交阵，①也是正交阵：②4=-1：③A的列向量都是单位向量且两两正 交：④A的行向量组是标准正交向量组.则以上说法正确的有(). A.1个B.2个： C.3个： D.4个. 12.二次型Fx'Ax的矩阵A的所有对角元为正是f为正定的() A.充分但非必要条件： B.必要但非充分条件： C.充要条件： D.既不充分也不必要条件 13.设方阵A与B相似，则() A.A-AE=B-AE: B.A与B有相同的特征值与特征向量： C.A与B都相似于一个对角阵；D.对任意常数2，A-E与B-E相似 14.在向量空间中，向量u=1-20,2,与B=(2,0,0,2)的夹角是(） A Z: 6 15.以下多项式是二次型的为(B). A f=x:Bf=x+x+x:Cf=x+x-x:Df=x+xx+x+xx 三、填空题 16.设B=PA2,其中P、Q是n阶矩阵，当P、Q是 矩阵时，A与B是等价的

第五章    练习题 一、判断题 1．相似矩阵有相同的特征多项式.                                      （ ） 2．n 阶实矩阵一定有 n 个线性无关的特征向量.                          （ ） 3． A, B 均为 阶方阵，如果有可逆方阵 ，使得 n C 1 B C AC   ，则 A 与 B 的关系是既相似又等 价.                                                    （ ） 4．对称矩阵一定可以对角化．                                         （ ） 5． A, B 均为 阶方阵，如果有可逆方阵 ，使得 n C T B  C AC ，则 A 与 B 的关系是既合同又相 似．                                                      （ ） 6.    两两正交的非零向量组线性无关.                                   （ ） 7    n阶矩阵 A 若有 个不同的特征值，则 n A 与对角形矩阵相似.            （） 8．对称阵 A 的特征值全为正，则 A 为正定的．                           （） 9．设 A 为 n 阶矩阵，则 与 AT A 的特征值相同．                          （ ） 二、选择题 10．若 A,B 是正交阵，下列说法中错误的是（ ）． A. 也是正交阵；        B. T  AA1 A  或－11 ；    C. AB 不是正交阵；             D. A 的列向量都是单位向量，且两两正交． 11．设 A 是 阶正交阵，① 也是正交阵；② n 1 A A  1；③ A 的列向量都是单位向量且两两正 交；④ A 的行向量组是标准正交向量组.则以上说法正确的有（    ）． A．    1 个；     B． 2 个；      C．    3 个；      D．    4 个．    12．二次型 f= T Axx 的矩阵 A 的所有对角元为正是 f 为正定的（    ） A. 充分但非必要条件；           B. 必要但非充分条件；      C. 充要条件；                  D. 既不充分也不必要条件. 13．设方阵 A 与 B 相似，则（    ） A. A  EB E =  ；                B .    A 与 B 有相同的特征值与特征向量；    C. A 与 B 都相似于一个对角阵；    D. 对任意常数 ，   与  EBEA 相似. 14. 在向量空间中，向量  与  )2,0,0,2(),2,0,2,1( 的夹角是（    ） A    6  ；     B    4  ；     C    3  ；     D 2  . 15. 以下多项式是二次型的为（ B ）. A  xf 1； B ； C 2 3 2 2 2 1  xxxf 321    xxxf ； D . 31321 2 1  xxxxxxf 三、填空题 16.设 B  PAQ ，其中 P、Q 是 n 阶矩阵，当 P、Q 是__________矩阵时，A 与 B 是等价的

当 时，A与B是相似的，当 时，A与B是合同的。（写出P、Q所满足 的条件) 17.设向量a,=1和a2=0都是矩阵A对应特征值入=2的特征向量，且向量B=a,-2a2 (0 则向量AB= k10） 18设4-60k*2 正定，则k应满足条件 19.设A,的特征值为L,2,-3,方阵B=A?-2A+3E,则B的特征值是 20.二次型fx,x,x)=x+x+5x+2m,x-2x,x+4x,x是正定二次型，则a的取值范围 是 21.向量-1,0,1]'，B=[1,√2,1]的夹角是 22.若二次型的正惯性指数为k,负惯性指数为1，则该二次型的秩是 23.已知3阶矩阵A的特征值为1,2，-1,4-54+7A是 24.与任意向量都正交的向量是 25.向量a=11,0,0]的长度为 四、解答题 26.化二次型fk,x2,x,)=x2+2x+2xx-2x2x,为标准形，并写出所用变换的矩阵。 「1-117 答案：∫=-片+片，所用变换的矩阵为010 01-1 -2001 -1001 (1)求a和b: (2)求可逆矩阵P,使P-AP=B. 答案：(1)由题设知B的3个特征值为-l,2,b,而A与B相似，所以A的特征值也为-l2,b 于是-2+a+1=-1+2+b,即b=a-2(*) 但E-A=(+2)[2-(a+1)1+(a-2】,将=-1代入有 0=E-A=(-1+2)[1+(a+l)+(a-2小，解得a=0,代入(*)得b=-2: (2)由上知 (-200(-100】 A- ,且A的特征值为-1,2，-2，可求出相应的特征向量 (00-2月

当___________时，A 与 B 是相似的，当___________时，A 与 B 是合同的。（写出 P、Q 所满足 的条件） 17. 设向量 和 都是矩阵            0 1 1 1            1 0 1  2 21 A 对应特征值  2的特征向量，且向量    2 ， 则向量 A  .       18. 设 0  正定，则 k 应满足条件        200 11 01 k k A . 19．设 的特征值为 A 33  3,2,1 , 方阵 EAAB 2    32 ，则 B 的特征值是           . 20．二次型   21 31 32 2 3 2 2 2 ,,  1321     4225 xxxxxaxxxxxxxf 是正定二次型，则a的取值范围 是           ． T T 21．向量  [ ，，   ]1,2,1[,]101 的夹角是         . 22．若二次型的正惯性指数为 k，负惯性指数为 l，则该二次型的秩是         ． 23．已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1,2,‐1， 75 AAA3 2  是＿_ _＿． 24. 与任意向量都正交的向量是_____. 25. 向量 的长度为           T   ，，， ]0011[ . 四、解答题 26．化二次型   31 32 2 3 2 ,, 1321   222 xxxxxxxxxf 为标准形，并写出所用变换的矩阵． 222 1 23  yyy ，所用变换的矩阵为 1 11 01 0 01 1             答案： f . 27．设矩阵 与 相似．          113 22 002 aA          b B 00 020 001 （1）求 a 和 b； （2）求可逆矩阵 P，使 ．  BAPP1 答案：（1）由题设知B 的 3 个特征值为1, 2, b ,而 A 与 相似，所以 B A 的特征值也为1, 2, b ， 于是     2 11 a b 2  ，即 （*） b a   2 但 2    EA a a     ( 2)[ ( 1) ( 2)]，将  1代入有 0 (1         EA a a +21 ( 1 ） ) ( 2)，解得a  0，代入（*）得b  2； (2)由上知 200 2 02 3 11 A             ， ，且 10 0 020 00 2 B              A 的特征值为1, 2, 2  ，可求出相应的特征向量

1） 「0017 使PAP=B 2,5=15=0北于是P=210月 -1 ”--11- 答案：x=3(注求对应2重特征根2=1的特征向量为2个的x,即求使R(E-A)=1的x值) 29.设二次型∫=x+x+2x2-2x, (1)写出二次型的矩阵A: 「110 答案A=10-1 0-11J (2)求出A特征值： 答案：1=-1,2=12=2 (3)写出二次型f的标准形 答案：∫--片+2 (4)求出所用的正交变换的矩阵， 0 1

1 23 0 0 2 , 1, 0 1 1                          1 1  ，于是 001 210 11 1 P             ，使 1 P AP B   . 28．设矩阵 可相似对角化，求          504 13 102 A x x． 答案： （注求对应 x  3 2 重特征根 1的特征向量为 2 个的 x，即求使 RE A ( )  1的 x值） 2 2 1 3 12 2 2 29.设二次型 2 3 f  x x xx 11 0 10 1 0 11 A              1 2 1, 1,  x x ， （1）写出二次型的矩阵 A； 答案 （2）求出 A 特征值； 答案： 3     2 22 2 12 3 2   . （3）写出二次型 f 的标准形； 答案： f  yy y . （4）求出所用的正交变换的矩阵. 111 623 2 1 0 6 3 11 1 62 3 T           答案：