南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第四章 函数的连续性

第四章函数的连续性 一、主要内容 1、连续性概念 。 2、连续函数的性质 3、初等函数的连续性 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 第四章 函数的连续性 • 一、主要内容 • 1、连续性概念 • 2、连续函数的性质 • 3、初等函数的连续性

二、目的要求 ·1、熟练掌握函数连续的定义，并能利用ε-δ语 言对简单的函数的连续性给出证明； ·2、掌握连续函数的局部性质并利用它对相关 问题进行讨论： ● 3、掌握闭区间上的连续函数的性质并会利用 它们证明相关命题； o 4、了解判定间断点的方法及间断点的分类； · 5、理解反函数的定义、存在性和连续性，并 且掌握判断反函数存在性和连续性的方法： 6、掌握初等函数的连续性；理解函数的一致 连续性。 前

前页 后页 返回 二、目的要求 • 1、 熟练掌握函数连续的定义，并能利用-语 言对简单的函数的连续性给出证明； • 2、掌握连续函数的局部性质并利用它对相关 问题进行讨论； • 3、掌握闭区间上的连续函数的性质并会利用 它们证明相关命题； • 4、了解判定间断点的方法及间断点的分类； • 5、 理解反函数的定义、存在性和连续性，并 且掌握判断反函数存在性和连续性的方法； • 6、掌握初等函数的连续性； 理解函数的一致 连续性

三、重点难点 ·1、重点是连续性的概念闭区间上的连续函数 的性质 ·2、难点是函数的一致连续性。 前页 后页 返回

前页 后页 返回 三、重点难点 • 1、重点是连续性的概念闭区间上的连续函数 的性质 • 2、难点是函数的一致连续性

§1连续函数的概念 一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数 前页 后页 返回

前页 后页 返回 §1 连续函数的概念 一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 二、间断点的分类 返回

一、函数在一点的连续性 定义1设函数f(x)在点x。的某邻域内有定义，且 lim f(x)=f(x), x→x0 (10 则称f(x)在点x,连续 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 性的，换句话说连续就是指f(x)在点x,的极限不 仅存在，而且其值恰为f(x)在点x,的函数值fx) 前页 后页 返回

前页 后页 返回 定义1 0 设函数 f x x ( ) , 在点 的某邻域内有定义 且 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x   (1) 由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续 0 0 仅存在,而且其值恰为 在点 的函数值 f x x f x ( ) ( ). 一、函数在一点的连续性 性的，换句话说连续就是指 0 f x x ( )在点 的极限不 0 则称 f x x ( ) . 在点 连续

例如：f(x)=xsgnx在x=0处连续，这是因为 limxsgnx=0=f(0). x→0 y=xsgnx 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 lim sgn 0 (0). 0 x x f x    y  xsgn x 例如： f (x)  xsgn x在 x  0 处连续， 这是因为 x y O

又如：函数 f)=七x≠0 a,x=0 (a≠0) 在x=0处不连续，这是因为limf(x)=0≠f(0) 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 在 x  0 , 处不连续 这是因为 lim ( ) 0 (0). 0 f x f x    又如：函数 , 0 ( ) ( 0) , 0 x x f x a a x        a x y O

函数f(x)=sgnx在点x=0处不连续，这是因为 极限limsgnx不存在. 由极限的定义，定义1可以叙述为：对于任意正数ε， 存在6>0，当0<|x-x<6时，有 f(x)-f(x)<s. (2) 注意到(2)式在x=x,时恒成立，因此0<x-x<δ 可改写为x-x,<6,这样就得到函数fw)在点x 连续的ε-6定义. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 极限 x x limsgn 0 不存在. 由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数 , ( ) ( ) . (2) 0 f x  f x   函数 f x x x ( ) sgn 0 ,   在点 处不连续 这是因为 0 0 注意到(2) , 0 式在x x x x     时恒成立 因此  存在 > 0, 0 当0 | | ,    x x  时 有 可改写为 0 这样就得到函数 f (x) 在点x0 x x   ， 连续的 定义   

定义2设f(x)在点x,的某个邻域内有定义.如果 对任意的ε>0，存在6>0，当x-x<6,时 f(x)-f(x)<&, 则称f(x)在点x,连续 为了更好地刻划函数在点的连续性，下面引出 连续性的另外一种表达形式。 设△x=x-Xo, Ay=y-Yo=f(x)-f(xo)=f(xo+Ax)-f(xo). 前页 后页 返回

前页 后页 返回 ( ) ( ) , 0 f x  f x   0 则称 f x x ( ) . 在点 连续 连续性的另外一种表达形式. 定义2 0 设 f x x ( ) . 在点 的某个邻域内有定义 如果 0 为了更好地刻划函数在点x 的连续性, 下面引出 , 设 x  x  x0 ( ) ( ) ( ) ( ). 0 0 0 x0 y  y  y  f x  f x  f x   x  f 对任意的   0, 存在   0, 当 x x   0  , 时

则函数在点x,连续的充要条件是： lim△y=0. (3) △x0 这里我们称△x是自变量（在x,处）的增量，△y为相 应的函数（在y处）的增量 前页 后页 返回

前页 后页 返回 0 则函数在点 x 连续的充要条件是 : lim 0. (3) 0     y x 应的函数(在 y0 处)的增量 0 这里我们称   x x y 是自变量( ) , 在 处 的增量 为相