南阳师范学院：《数学分析》课程教学资源（课件讲稿）第十九章 含参量正常积分

§1含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积 分形成的函数称为含参量积分，它可用来 构造新的非初等函数.含参量积分包含正 常积分和非正常积分两种形式： 前顶 后页 返回

前页 后页 返回 §1 含参量正常积分 对多元函数其中的一个自变量进行积 分形成的函数称为含参量积分, 它可用来 构造新的非初等函数. 含参量积分包含正 常积分和非正常积分两种形式

一、含参量正常积分的定义 设f(x,y)是定义在矩形区域R=[,b]×[c,W上的 二元函数.当x取[a,b上的定值时，函数f(x,y)是 定义在[c,上以y为自变量的一元函数.倘若这时 f(x,y)在[c,上可积，则其积分值 Ix)=∫fxy,x∈a,1 (I) 是定义在[a,b]上的函数 一般地，设f(x,y)为定义在区域

前页 后页 返回 一、含参量正常积分的定义 设 f x y ( , ) 是定义在矩形区域 R a b c d   [ , ] [ , ] 上的 定义在 [ , ] c d 上以 y 为自变量的一元函数. 倘若这时 f x y ( , ) 在 [ , ] c d 上可积, 则其积分值 ( ) ( , )d , [ , ] (1) d c I x f x y y x a b    是定义在 [ , ] a b 上的函数. 一般地, 设 f x y ( , ) 为定义在区域 二元函数.当 x取 [ , ] a b 上的定值时,函数 f x y ( , ) 是

G={(x,y)川c(x)≤y≤d(x),a≤x≤b} 上的二元函数，其中c(x),dx)为定义在a,b]上的连 续函数（图19-1）， ↑ y=d(x) G y=c(x) bx 图19-1 若对于[a,]上每一固定的x值，∫(x,)作为y的函 前页 后页 返回

前页 后页 返回 G x y c x y d x a x b      {( , ) | ( ) ( ) , } 上的二元函数, 其中c (x), d (x)为定义在 [ , ] a b 上的连 续函数(图19-1), 图19 1  O y a b x G y c x  ( ) y d x  ( ) 若对于 [ , ] a b 上每一固定的 x 值, f x y ( , ) 作为 y 的函

数在闭区间[c(x),d(x)]上可积，则其积分值 F()( (2) 是定义在[a,b]上的函数 用积分形式(1)和(2)所定义的这函数I(x)与F(x) 通称为定义在[4，]上的含参量x的（正常）积分， 或简称为含参量积分， 前顶 返回

前页 后页 返回 数在闭区间 [ ( ), ( ) ] c x d x 上可积, 则其积分值 ( ) ( ) ( ) ( , )d , [ , ] (2) d x c x F x f x y y x a b    是定义在 [ , ] a b 上的函数. 用积分形式 (1) 和 (2) 所定义的这函数 I x( ) 与 F x( ) 通称为定义在 [ , ] a b 上的含参量 x 的(正常)积分, 或简称为含参量积分

二、含参量正常积分的连续性 定理19.1(I(x)的连续性)若二元函数f(x,y)在矩 形区域R=[a,b]×[c,d上连续，则函数 Ix)=∫fx,y 在[a,b]上连续 证设x∈[a,b,对充分小的△x,有x+△x∈[a,b(若 x为区间的端点，则仅考虑△>0或△x<0),于是 前页 后页 返回

前页 后页 返回 二、含参量正常积分的连续性 定理19.1 ( I x( )的连续性 ) 若二元函数 f x y ( , ) 在矩 形区域 R a b c d   [ , ] [ , ] 上连续, 则函数   ( ) ( , )d d c I x f x y y 在[ a , b]上连续. 证 设 x a b [ , ], 对充分小的   x x x a b , [ , ] 有   (若 x 为区间的端点, 则仅考虑   x x   0 0 或 ), 于是

Ix+△x)-Ix)=Jf(x+△x,y)-fx,yld,3) 由于∫(x,y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续， 即对任意ε>0，总存在δ>0，对R内任意两点 (x1,y)与(x2,y2),只要 |x1-x2|<6,1y1-y21<δ， 就有 |f(x1,y1)-f(x2,y2)川<ε (4) 所以由(3)，(4)可得，当|△x|<6时

前页 后页 返回 ( ) ( ) [ ( , ) ( , )]d , (3) d c I x x I x f x x y f x y y         由于 f x y ( , ) 在有界闭区域 R上连续, 从而一致连续, 即对任意   0 , 总存在   0 , 对R内任意两点 1 1 2 2 ( , ) ( , ) x y x y 与 ， 只要 1 2 1 2 | | , | | , x x y y       就有 | ( , ) ( , ) | . (4) f x y f x y 1 1 2 2    所以由(3), (4)可得, 当 时 | | , x  

1I(x+△x)-I(x)I≤|fx+△x,y)-fx,y川d <∫'&dr=&(d-c) 即I(x)在[a,b1上连续 同理可证：若∫(x,y)在矩形区域R上连续，则含参 量y的积分 J)=∫fx,y)d (5) 在c,d]上连续 前页 后页 返

前页 后页 返回       | ( ) ( ) | | ( , ) ( , ) | d d c I x x I x f x x y f x y y   d ( ). d c      x d c  即 I (x) 在 [ , ] a b 上连续. 同理可证: 若 f x y ( , ) 在矩形区域 R上连续,则含参 量 y 的积分   ( ) ( , )d (5) b a J y f x y x 在[c ,d ]上连续

定理19.2(F(x)的连续性)若二元函数f(x,y)在区 域G={(x,y)川c(x)≤y≤d(x),a≤x≤b}上连续，其 中cx),dx)为a,b]上的连续函数，则函数 F)-fdy (6) 在[a,b]上连续 证对积分(6)用换元积分法，令 y=c(x)+i(d(x)-c(x)). 当y在cx)与dx)之间取值时，t在[O,1)上取值，且 前页 返回

前页 后页 返回 定理19.2 ( F x( )的连续性 ) 若二元函数 f x y ( , ) 在区 域 G x y c x y d x a x b      {( , ) | ( ) ( ) , } 上连续, 其 中c(x), d(x)为 [ , ] a b 上的连续函数, 则函数   ( ) ( ) ( ) ( , )d (6) d x c x F x f x y y 在 [ , ] a b 上连续. 证 对积分(6)用换元积分法, 令 y c x t d x c x    ( ) ( ( ) ( )) . 当 y 在c(x)与d(x)之间取值时, t 在 [0, 1] 上取值, 且

dy =(d(x)-c(x))dt. 所以从(6)式可得 F()-fyy =[f(x.c(x)+r(d(x)-c(xD(d(x)-c(x))dt. 由于被积函数 f(x,c(x)+i(d(x)-c(x))(d(x)-c(x)) 在矩形区域[a,b]×[0,1]上连续，由定理19.1得积分 (6)所确定的函数Fx)在a,b]连续 前页 后页 返回

前页 后页 返回 d ( ( ) ( ))d . y d x c x t   所以从(6)式可得   ( ) ( ) ( ) ( , )d d x c x F x f x y y 1 0     f x c x t d x c x d x c x t ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))d .  由于被积函数 f x c x t d x c x d x c x ( , ( ) ( ( ) ( )))( ( ) ( ))    在矩形区域 [ , ] [0 ,1] a b  上连续, 由定理19.1得积分 (6)所确定的函数 F(x) 在[a, b]连续

三、含参量正常积分的可微性 定理19.3(I(x)的可微性)若函数f(x,y)与其偏导 数f(x,y)都在矩形区域R=[a,b×[c,d上连续 则函数 Ix)=∫fx,yd 在[a,b]上可微，且 f.yy-f.x.ynv. 前页 后页 返回

前页 后页 返回 三、含参量正常积分的可微性 定理19.3 ( I x( )的可微性 ) 若函数 f x y ( , ) 与其偏导 ( , ) x 数 f x y 都在矩形区域 R a b c d   [ , ] [ , ] 上连续, 则函数   ( ) ( , )d d c I x f x y y 在 [ , ] a b 上可微, 且 d ( , )d ( , )d . d d d x c c f x y y f x y y x   