《电路》课程教学资源（教案）第十章 含有耦合电感电路

第十章含有耦合电感电路教学基本要求一、1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。二、教学重点与难点1．教学重点：（1).互感和互感电压的概念及同名端的含义；(2)．含有互感电路的计算（3）.空心变压器和理想变压器的电路模型2.教学难点：（1）.耦合电感的同名端及互感电压极性的确定：(2).含有耦合电感的电路的方程(3).含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。三、本章与其它章节的联系：本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。四、学时安排总学时：4学时教学内容21.互感、含有耦合电感电路的计算22.空心变压器、理想变压器五、教学内容

第十章 含有耦合电感电路 一、 教学基本要求 1、熟练掌握互感的概念及具有耦合电感的电路计算方法。 2、掌握空心变压器和理想变压器的应用。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).互感和互感电压的概念及同名端的含义； (2). 含有互感电路的计算 (3). 空心变压器和理想变压器的电路模型 2．教学难点：(1). 耦合电感的同名端及互感电压极性的确定； (2). 含有耦合电感的电路的方程 (3). 含有空心变压器和理想变压器的电路的分析。 三、本章与其它章节的联系： 本章的学习内容建立在前面各章理论的基础之上。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时 1．互感、含有耦合电感电路的计算 2 2．空心变压器、理想变压器 2 五、教学内容

$10.1互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。1.互感N图10.1两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流i时，不仅在线圈1中产生磁通Φ11，同时，有部分磁通Φ2穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流12时，不仅在线圈2中产生磁通中Φ22，同时，有部分磁通Φ12穿过线圈1，Φ12和Φ2称为互感磁通。定义互磁链：512=MΦ122=N21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：Wn= Li22=L12互感磁通链：12 = M12i221=M211上式中M2和M2，称为互感系数，单位为（H）。当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：=W112=±M22W2=W22±W21=Li2±M21需要指出的是：1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12=M21=M2）自感系数L总为正值，互感系数M值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反互感起削弱作用。2.耦合因数工程上用耦合因数k来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义

§10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线 圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元 件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 1. 互感 图 10.1 两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图 10.1 所示，当线圈 1 中通 电流 i1时，不仅在线圈 1 中产生磁通 φ11，同时，有部分磁通 φ21穿过临近线圈 2，同理，若在线圈 2 中通电流 i2 时，不仅在线圈 2 中产生磁通 φ22，同时，有 部分磁通 φ12穿过线圈 1，φ12和 φ21称为互感磁通。定义互磁链： ψ12 = N1φ12 ψ21 = N2φ21 当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正 比，即有自感磁通链： 互感磁通链： 上式中 M12 和 M21 称为 互感系数，单位为（H）。 当两个线圈都有电流时， 每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： 需要指出的是： １）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关， 因此，满足 M 12 =M21 =M ２）自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与 互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反， 互感起削弱作用。 2. 耦合因数 工程上用耦合因数 k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 定义

MK二VLL一般有：MM[(M)(M2)W21≤1=LiLiaVWii22当k=1称全耦合，没有漏磁，满足fn=f21，f22=f12。耦合因数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。3.耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：di-dyn+di+Mdiadn=Ludtdtdtdtdtdya-da+dya=Ldi+Mdiudtdtdtdt-dt即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。在正弦交流电路中，其相量形式的方程为U, = jOL+ joMi,U,=±joMi,+ joL,i,注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正：否则取负。以上说明互感电压的正、负：（1）与电流的参考方向有关。（2）与线圈的相对位置和绕向有关。4.互感线圈的同名端由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同名端的概念。同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号

一般有： 当 k =1 称全耦合，没有漏磁，满足 f11 = f21 ， f22 = f12 。 耦合因数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。 3. 耦合电感上的电压、电流关系 当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电 压。根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： 即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 注意： 当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助” 作用，互感电压取正；否则取负。以上说明互感电压的正、负： （ 1 ）与电流的参考方向有关。 （ 2 ）与线圈的相对位置和绕向有关。 4. 互感线圈的同名端 由于产生互感电压的电流在另一线圈上，因此，要确定互感电压的符号，就 必须知道两个线圈的绕向，这在电路分析中很不方便。为了解决这一问题引入同 名端的概念。 同名端: 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生 的磁通相互增强，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，用小圆点或星号

等符号标记。例如图10.2中线圈1和线圈2用小圆点标示的端子为同名端，当电流从这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。同理，线圈1和线圈3用星号标示的端子为同名端。线圈2和线圈3用三角标示的端子为同名端。3NM中221131图10.2注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线圈分别标定。根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为：（1）当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将相互增强。(2）当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。两线圈同名端的实验测定：实验线路如图10.3所示，当开关S闭合时，线圈1中流入星号一端的电流i增加，在线圈2的星号一端产生互感电压的正极，则电压表正偏。RS1￥22图10.3有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及电流和电压的参考方向即可，如图10.4所示。根据标定的同名端和电流、电压参考方向可知：

等符号标记。 例如图 10.2 中线圈 1 和线圈 2 用小圆点标示的端子为同名端，当电流从 这两端子同时流入或流出时，则互感起相助作用。同理，线圈 1 和线圈 3 用星 号标示的端子为同名端。线圈 2 和线圈 3 用三角标示的端子为同名端。 图 10.2 注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线 圈分别标定。 根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为： (1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将 相互增强。 (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈 相应同名端的电位升高。 两线圈同名端的实验测定：实验线路如图 10.3 所示，当开关 S 闭合时， 线圈 1 中流入星号一端的电流 i 增加，在线圈 2 的星号一端产生互感电压的 正极，则电压表正偏。 图 10.3 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出 同名端及电流和电压的参考方向即可，如图 10.4 所示。根据标定的同名端和电 流、电压参考方向可知：

M+12111l21图10.4（a）图10.4（b）=1=-（b）图dt(a）图dt例10-1如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。iMiM例10-1 图(a)例10-1图（b)441.例10-1图（c）例10-1图（(d)dizdididiz+Le+M=M=auzdtdt解：(a)didi,ddizM+he-MU=Lu,dtdt(b)didi,中di,di2a-MLd+Mu=adtdt(c)di,dizdi,MdiMu=-Lu-Ldtdtdt(d)例10-2电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。R=10Q,L,=5H,L,=2H,M=1H求ut)和u,(t)已知：

图 10.4 （ a ） 图 10.4（ b ） （ a ）图 （ b ）图 例 10-1 如图所示（a）、（b）、（c）、（d）四个互感线圈，已知同名端和 各线圈上电压电流参考方向，试写出每一互感线圈上的电压电流关系。 例 10-1 图（a） 例 10-1 图（b） 例 10-1 图（c） 例 10-1 图（d） 解：（a） （b） （c） （d） 例 10-2 电路如图（a）所示，图（b）为电流源波形。 已知：

1/Ats02例10-2图(a)例10-2图(a)(b)解：根据电流源波形，写出其函数表示式为：[10t0≤t≤ls=20-10t 1≤t≤2s[02≤t该电流在线圈2中引起互感电压：[10V0≤t≤ls()=M-10V1≤t≤2s-dt[o2≤t对线圈1应用KVL，得电流源电压为：[100t+50V0≤t≤s0=Ri+典-100t+150V1≤t≤2sdt02≤t

例 10-2 图 （a） 例 10-2 图 （a）（b） 解：根据电流源波形，写出其函数表示式为： 该电流在线圈 2 中引起互感电压： 对线圈 1 应用 KVL ，得电流源电压为：

$10.2含有耦合电感电路的计算含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：（1）在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。（2）注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。(3）一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行处理。1.耦合电感的串联（1）顺向串联图10.5所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为顺向串联。1M+iR2RR,Li L,u一+*+U2i?十u图10.5图10.6按图示电压、电流的参考方向，KVL方程为：A+MA+LA+MA+Riu=Ri+LLaatadtdtdt=(R+R）+(L,+L+2M)=Ri+Ldtdt根据上述方程可以给出图10.6所示的无互感等效电路。等效电路的参数为：R=R+RL= L +L +2M（2）反向串联图10.7所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向串联

§10.2 含有耦合电感电路的计算 含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意： (1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析 方法。 (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。 (3) 一般采用支路法和回路法计算。因为耦合电感支路的电压不仅与本支路 电流有关，还与其他某些支路电流有关，若列结点电压方程会遇到困难，要另行 处理。 1. 耦合电感的串联 （1） 顺向串联 图 10.5 所示电路为耦合电感的串联电路，由于互感起“增助”作用，称为 顺向串联。 图 10.5 图 10.6 按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 根据上述方程可以给出图 10.6 所示的无互感等效电路。等效电路的参数 为： （2） 反向串联 图 10.7 所示的耦合电感的串联电路，由于互感起“削弱”作用，称为反向 串联

RR+u2uXu图10.7按图示电压、电流的参考方向，KVL方程为：di2-M+L.%-W&+R!u=Ri+L,dt dtdt=(R+R）i+(L+L-2M)=Ri+L变atdt根据上述方程也可以给出图10.6所示的无互感（去耦）等效电路。但等效电路的参数为：R=R+RL=L+L-2M在正弦稳态激励下，应用相量分析，图10.5和图10.7的相量模型如图10.8所示。joMjoMi1R,R,RjoL,R,joL,joL,joL,U2+++U-+U,U,-ii++图10.8（a图10.8（b）U=U,+U,=[R+R + jo(L,+L +2M)]i图（a）的KVL方程为：Z=R+R+jo(L+L,+2M)输入阻抗为：可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时的相量图如图10.9所示。joMIjcoL,iUjtoL,iR,IjoMijcoL1RIR图10.9图10.10U=U,+U,=[R+R,+jo(L+L-2M)]i图（b）的KVL方程为：

图 10.7 按图示电压、电流的参考方向， KVL 方程为： 根据上述方程也可以给出图 10.6 所示的无互感（去耦）等效电路。但等效 电路的参数为： 在正弦稳态激励下，应用相量分析，图 10.5 和图 10.7 的相量模型如图 10.8 所示。 图 10.8 （ a ） 图 10.8（ b ） 图（a）的 KVL 方程为： 输入阻抗为： 可以看出耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时 的相量图如图 10.9 所示。 图 10.9 图 10.10 图（b）的 KVL 方程为：

输入阻抗为：Z=R+R+jo(L,+L,-2M)可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时的相量图如图10.10所示。注意：（1）互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关系：L=L+L-2M≥0M≤(Z, +L)（2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反顺二反M=-4接一次，则互感系数为2.耦合电感的并联（1）同侧并联图10.11为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧串联。根据KVL得同侧并联电路的方程为：di,dizdi,di1+M2+Mu=Lidtu=Lddtdt由于i=i+i(LL - M) ±uL+L-2Md解得u，i的关系：iiM++ilbiluuLV1图10.11图10.12根据上述方程可以给出图10.12所示的无互感等效电路，其等效电感为：(L,L, -M)LeL +L, -2M（2）异侧并联图10.13中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联

输入阻抗为： 可以看出耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时 的相量图如图 10.10 所示。 注意： （1） 互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关 系： （2）根据上述讨论可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反 接一次，则互感系数为： 2. 耦合电感的并联 （1）同侧并联 图 10.11 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为 同侧串联。 根据 KVL 得同侧并联电路的方程为： 由于 i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 图 10.11 图 10.12 根据上述方程可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： （2） 异侧并联 图 10.13 中由于耦合电感的异名端连接在同一个结点上，故称为异侧并联

11图10.13dizRMaMu=1uLidtdtdtdt此时电路的方程为：考虑到：i=i+12(L-M)du:Z+L,+2Md解得u，i的关系：根据上述方程也可以给出图10.12所示的无互感等效电路，其等效电感为：(LL, -M")Leg=L +L, +2M3.耦合电感的T型去耦等效如果耦合电感的2条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点如图10.14所示，称为耦合电感的T型联接。显然耦合电感的并联也属于T型联接。（1）同名端为共端的T型去耦等效joMi.ijo(L,-M)jo(L,-M)joL,joL,3 joM3 ;334;图10.14图10.15图10.14的电路为同名端为共端的T型联接。根据所标电压、电流的参考方向得：Ui3= jmL,i+ jaM ia= jo(L-M)ii+jaMiU23= jmL,i2+jaM li= jo(L,-M)2+ jaM i由上述方程可得图10.15所示的无互感等效电路

图 10.13 此时电路的方程为： 考虑到： i = i1 + i2 解得 u , i 的关系： 根据上述方程也可以给出图 10.12 所示的无互感等效电路，其等效电感为： 3. 耦合电感的 T 型去耦等效 如果耦合电感的 2 条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的 共同结点如图 10.14 所示，称为耦合电感的 T 型联接。显然耦合电感的并联也 属于 T 型联接。 （1） 同名端为共端的 T 型去耦等效 图 10.14 图 10.15 图 10.14 的电路为同名端为共端的 T 型联接。根据所标电压、电流的参考 方向得： 由上述方程可得图 10.15 所示的无互感等效电路