《电路》课程教学资源（教案）第十三章 拉普拉斯变换

第十三章拉普拉斯变换一、教学基本要求1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。二、教学重点与难点教学重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开：2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路；3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。教学难点：1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法；2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。三、本章与其它章节的联系：是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。总学时：6四、学时安排学时教学内容21.拉普拉斯变换的定义及基本性质22.拉普拉斯反变换的部分分式展开23.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路24：应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题五、教学内容s13-1拉普拉斯变换的定义1.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数t）与复变函数F(s）联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律月有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2.拉普拉斯变换的定义一个定义在[0,+o]区间的函数），它的拉普拉斯变换式F(s）定义为F(s)= L[F(t)] = I f(t)e-" dt

第十三章 拉普拉斯变换 一、教学基本要求 1、了解拉普拉斯变换的定义，会用拉普拉斯变换基本性质求象函数。 2、掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法，.基尔霍夫定律的运算形式、 运算阻抗和运算导纳、运算电路。 3、掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 拉普拉斯反变换部分分式展开； 2. 基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路； 3. 应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。 教学难点：1. 拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 2. 电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用。 三、本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 四、学时安排 总学时：6 教 学 内 容 学 时 1．拉普拉斯变换的定义及基本性质 2 2．拉普拉斯反变换的部分分式展开 2 3．基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 2 4．应用拉普拉斯变换分析线性电路，习题 2 五、教学内容 §13－1 拉普拉斯变换的定义 1. 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数 f(t) 与复变函 数 F(s) 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微 分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得 到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有 效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2. 拉普拉斯变换的定义 一个定义在 [0,+∞] 区间的函数 f(t) ，它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为

式中s=c+j@为复数，被称为复频率；F(s)为(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由F(s）到Jt)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为J()= L[F(3)]=[F(s)e"ds2式中c为正的有限常数。注意：（1）定义中拉氏变换的积分从=0-开始，即：F($)= J f(t)e-"dt = I" f(t)e-"dt + Jr f(t)e-"dt它计及=0-至0+，包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。（2）象函数F(s）一般用大写字母表示，如[(s)，U(s），原函数(t）用小写字母表示，如i(t),u(t)。(3)象函数 F(s)存在的条件：L-[F(t)e"±t<3.典型函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数的象函数f (t)= (t)F(s)=[e(0)]- s(te"dt=e"dt --e"- --f（2）单位冲激函数的象函数f(t) = 8(t)F(s) = L[8(t)]- J8(t)e-"dt = [8(t)e-"dt =1（3）指数函数的象函数f(t)=etat1F(s)= [(t)]= Ietate-"dt = -$干α

式中 s=σ+jω 为复数，被称为复频率；F(s)为 f(t)的象函数，f(t)为 F(s)的原函 数。 由 F(s) 到 f(t) 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中 c 为正的有限常数。 注意： （1）定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始，即： 它计及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电 路的计算带来方便。 （2）象函数 F(s) 一般用大写字母表示, 如 I(s)，U(s) ，原函数 f(t) 用小写 字母表示，如 i(t),u(t)。 （3）象函数 F(s) 存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 （1） 单位阶跃函数的象函数 （2）单位冲激函数的象函数 （3） 指数函数的象函数

813-2拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。表13-1拉氏变换的若干性质和定理(Z[J;(2)=F;(s))特性和定理表达式条件和说明[af(t)+bf(t]=aLf(t]+bf(t)线性a、b为常数[aR()+bF(o=-[R(O]+'[F()]时域延迟L(t-t)=e""F(s)T为一非负实数位移特性Re(s-a)>c频域延迟L[e"(t)=F(s-a)若所有初值为零，则有LF'(t)= sF(S) -J(0)L['(0)]= sF(s)微分L[(t) = $" F(s) [s"f(0) +-5(0)++n-1)(0)[y(n)(t)] = s"F(s)I (d)-(F()积分aa..f(f) -FYS衣limsF(s)limn()- lim s(s),(0) = limn sF(s),初值定理存在(s)所有奇点均在s平limf(t)=limsF(),f(o0) =limsFs),终值定理或→+面左半部Ls(r(t-t-Ls(t-)(ttL[i(t) * f2(t)] = F(s) · F2(s)卷积定理-为与的卷L-[Fi(s)·F2(s)=()*J2(t)积应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化

§13－2 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换的性质列于表 13.1 中。 表 13-1 拉氏变换的若干性质和定理 特性和定理 表 达 式 条 件 和 说 明 线性 a 、 b 为常数 位移特性 时域延迟 为一非负实数 频域延迟 微分 若所有初值为零，则有 积分 初值定理 或 存在 终值定理 或 所有奇点均在 s 平 面左半部 卷积定理 为 与 的卷 积 应用拉氏变换的性质，同时借助于表 13.2 中所示的一些常用函数的拉普拉 斯变式可以使一些函数的象函数求解简化

表13-2拉氏变换简表F(s)= LL(t)f(t)F(s)=[(t)]f(t)Tot0fe1(n = ,2,..)(-116(0)e's+a11L(-e)I(e +at -1)OT$2(s+Q)s(s +a)QsaSin(at)Cos at32 +@232 +a25aCosh atSinh( at )32 @22- a2111(at-sina)24-cosat3(s2 +2)32(s? +a2)e-"-e-"15ae-at -be-ot(s+a)(s+b)(s+a)(s+b)b-aa-b1te~at(s+a)例 13-1[e(b)] = 1，求函数f(t)=Ust)的像函数。已知解：F(s)= [Ue(t)]=UL[s(t)]-C[s()] = 1,求 f(t)= te()-te(t-1)的象函数。例13-2已知根据积分性质和时域延迟性质解：0-001[f(0)] = Z[te(t) - (t - 1)e(t - 1) - g(t - 1)] =例 13-3 求函数 T(t)=sin( ot)的像函数

表 13-2 拉氏变换简表 1 Cos at Sin( at ) Cosh at Sinh( at ) 例 13-1 已知 ，求函数 的像函数。 解： 例 13-2 已知 ，求 f(t)= 的象函数。 解： 根据积分性质和时域延迟性质 例 13-3 求函数 的像函数

解：o-10F(s)= L sin(at )210$?+0例13-4求函数T(t)=coot)的像函数。解：根据微分性质，因为I dsin( ot)cos(ot) = dt@，所以1d(sin(at)F(s) = L[cosat]= Lodt@S00s?+0ss?+0例 13-5 求函数 J(t)=ta(t)的像函数。解：根据频域导数性质有：L[ta(t)]dss

解： 例 13-4 求函数 的像函数。 解：根据微分性质，因为 ，所以 例 13-5 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有：

例 13-6 求函数 丁(t)=t"s(t)的像函数。解：根据频域导数性质有：F(s)= ["6(t)=(-1)(s)=1ds"例 13-7 求函数 {(t)=te"的像函数。解：根据频域导数性质有：1dlF(s)= L[te-"]ds s+(s+ α)2$13-3拉普拉斯反变换的部分分式展开1.拉普拉斯反变换法用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：（1）利用公式F(t)=1 rctyF(s)e"ds2元（2）对简单形式的F(S）可以查拉氏变换表得原函数（3）把F(S）分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。F(s)= F(s)+ F,(s)+ ..-+ F(s)则于(t)=()+()+…+()2.部分分式展开法用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将F(s)展开成部分分式，成为可在拉氏变换表中查到的S的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数()。设F(s)=R(s)/F(s)，R(s)的阶次不高于F()的阶次，否则，用()除B(s)），以得到一个s的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因式分解，求出F(s)=0的根

例 13-6 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有： 例 13-7 求函数 的像函数。 解： 根据频域导数性质有： §13－3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 1．拉普拉斯反变换法 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式 反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有： （1） 利用公式 （2） 对简单形式的 F(S) 可以查拉氏变换表得原函数 （3） 把 F(S) 分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。 则 2．部分分式展开法 用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将 展开成部分分 式，成为可在拉氏变换表中查到的 的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求 取原函数 。 设 ， 的阶次不高于 的阶次，否则，用 除 ，以得到一个 的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式 时，需对为分母多项式作因式分解，求出 =0 的根

设象函数的一般形式：?@+a+-(n ≥m)F(s) =F(s)b,s"+b,s--+ +..+b.即F（s）为真分式。下面讨论F,(s)=O的根的情况。(1）若F(s)=0有n个不同的单根pI、po..pn。利用部分分式可将F(s)分解为:F(s)a1++auF(s) =L.(s-pi)(s-p2)...(s-pu)s-pis-p2S-Px待定常数的确定：方法—：按=[(s-P)F(s),-，i=1,2,3..,n来确定。方法二：用求极限方法确定ai的值(s-p)Fi(s)(s-p)F'(s)+F(s) _F(p)= lima, = limF,(s)F,'(s)F,'(p)75→,得原函数的一般形式为：F,(p.)eF(pi)。r +F(p2)erf(t)=F,(p.)F,(P2)F,(p.)(2）若F(s)=0有共轭复根Pi=a+j和P2=α-ja，可将F(s)分解为：F(s)a,42+3aF(S) =(s-p)(s-p2)(s-p)..(s-pn)s-ps-p2s-p3S-Px则=[(s-α-ja)F(s)]+je, a,=[(s-α+ ja)F(s)]-因为F(s)为实系数多项式之比，故"和%为共轭复数。设4=Kk =[Kk-10f(t) =Cye(a+jet + C29e(a-jat = 2kjle cos(at +8)(3）F,(s)=0的具有重根时，因含有（s-P)"的因式。R(s)F(s) =(s-pi)'(s-p1)..(s-pe)b.by.bayCy+2(s-pi)"(s-p)s-pis-Pr+15S-Pr+2S-Px

设象函数的一般形式： 即 F（s）为真分式。下面讨论 =0 的根的情况。 （1） 若 =0 有 n 个不同的单根 p1、p2.pn 。利用部分分式可将 F(s)分解为： 待定常数的确定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, . , n 来确定。 方法二：用求极限方法确定 ai 的值 得原函数的一般形式为： （2） 若 =0 有共轭复根 和 ，可将 F(s)分解为： 则 ， 因为 F(s)为实系数多项式之比，故 和 为共轭复数。设 ， （3） =0 的具有重根时，因含有 的因式

b,-1p)rF(s)l.-(S则, b,=[(s-P)rF(s)],-1:disdr-1br:(-1) dsr-[(s-P) F(0)]-)总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：（1）n=m时将F(s）化成真分式和多项式之和；（2）求真分式分母的根，确定分解单元；(3)）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；（4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。例13-8已知4s+5F(s) =s+5s+6求原函数()解法一：设4s+5K,KF(s) =s+5s+6s+ 2$+3其中4s+54s+5K,K37S+3$+2所以 「(t) = -3e-" (t) + 7e"s(t)解法二：F,(pi)4s+5K, =--72s+5F,(p)4s+5N(p2)K,= 7D'(p2)2s+5例13-9已知SF(s) =$+2s+5求原函数()

则， ； ； . ； 总结上述得由 F(s) 求 f( t) 的步骤： （1） n = m 时将 F(s) 化成真分式和多项式之和； （2） 求真分式分母的根，确定分解单元； （3） 将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数； （4） 对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。 例 13-8 已知 求原函数 解法一： 设 其中 所以 解法二： 例 13-9 已知 求原函数

解：因为+2s+5=0的根为：Pu2=-1±j2所以s-(-1-2 )]--t/2 = 0.5 - j05 = 0.559226.6K,:s5(-1+2)-1-/2 =0.559 -26.6K=f(t)=2×0.559e- cos(2t +26.6')s(t)例13-10已知$*+4s+1F(s)=(s+4)求原函数()解：1= 1+ F'(s)F(s)= 1+s(s+4)Kkki2+k1F'(s)=S(s - j2)(s+j2)s1ki1 =[(s - 0)" F'(s)]-0 =Xd[(s - 0)° F'(s)],-0 = 0Wds*+1-1号k =[(s - j2)F(s)]s/2 =j16161-k2 =[(s+ j2)F'(s)]s--J/2 161元cos(2t+F()=L[F(s)] = 8(0)+-P2A则

解： 因为 的根为： 所以 例 13-10 已知 求原函数 解： ； ； ； 则

例13-11已知$*+9$+11F(s) 2+5s+6求原函数()。解：原式4s+5-37=1+=1+s2+5s+6$+2$+3所以 f(t) = 6(t)+ (7e-3t - 3e-21)$13-4运算电路应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。1.电路定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示：Zi(t)=0Zu(t)=0把时间函数变换为对应的象函数：u(t) -→U(s)i(t) →I(s)得基尔霍夫定律的运算形式：ZU(s) =0ZI(s)=02.电路元件的运算形式根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。（1）电阻R的运算形式图13.1（a）所示电阻元件的电压电流关系为：uFRi，两边取拉普拉斯变换

例 13-11 已知 求原函数 。 解： 原式 所以 §13－4 运算电路 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首 先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出 R 、 L 、 C 单个元件的电压电 流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运 算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函 数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法 与 相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定 理在形式上均可用于运算法。 1. 电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算 形式。 （1） 电阻 R 的运算形式 图 13.1（a）所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换